![\"\"](\"https:\/\/i0.wp.com\/www.ilpost.it\/wp-content\/uploads\/bloggers\/2013\/02\/cerchi1.png?ssl=1\")
<\/a>come mettere tre cerchi?<\/p><\/div>\n
In due dimensioni non ci sono in effetti grossi problemi: ci si pu\u00f2 mettere a fare un po’ di conti e scoprire che per esempio tra le due configurazioni possibili nel caso di tre cerchi (vedi il disegno qui a destra) la configurazione a triangolo ha un’area minore di quella per cos\u00ec dire “lunga”. Non serve fare troppi conti: a parte i tre cerchi, l’area nel primo caso \u00e8 data da due quadrati 2\u00d72 pi\u00f9 un cerchio di raggio 1, quindi 8+\u03c0; nel secondo caso lo spazio centrale ha area \u221a3\u2212(\u03c0\/2) e i tre pezzi esterni hanno area 2\u2212(\u03c0\/2), quindi l’area totale \u00e8 3\u03c0+\u221a3\u2212(\u03c0\/2)+6\u2212(3\u03c0\/2), cio\u00e8 6+\u221a3+\u03c0. Al crescere del numero di cerchi la configurazione ottimale \u00e8 generalmente quella pi\u00f9 esagonale possibile: la cosa non \u00e8 molto semplice, si parla di Groemer packing<\/em> dal nome di Helmut Groemer, ma trovare informazioni al riguardo non \u00e8 facilissimo. Se riuscite a leggere questo articolo di Ian Stewart<\/a> (purtroppo la conversione dei simboli matematici in PDF si \u00e8 persa: il \u03c0 e il \u00d7 sono diventati degli underscore, \u221a \u00e8 la legatura \u0153, mentre al posto di 1\/2 c’\u00e8 \u00ef) scoprirete che nel 1986 Gerd Wegner della Universit\u00e4t Dortmund ha pi\u00f9 o meno risolto il problema per un numero qualunque di cerchi, dove il “pi\u00f9 o meno” sta a significare che in alcuni casi l’impacchettamento migliore noto potrebbe non essere ottimale, sia pure di poco.<\/p>\n con le sfere, \u00e8 meglio la configurazione lunga "a salsiccia"<\/p><\/div>\n Le cose iniziano a diventare pi\u00f9 interessanti nel caso tridimensionale. Prendiamo per esempio sette sfere, e mettiamole in linea, come mostrato nel disegno qui sotto; e proviamo invece a metterle in una configurazione compatta. Se al posto delle sfere avessimo dei tubi come quelli che contengono le palle da tennis, il problema del volume minimo che contiene tutti i tubi si ridurrebbe al caso bidimensionale: quindi l’impacchettamento per lungo non \u00e8 certo ottimale e si rovinerebbe subito, a differenza di quello esagonale. Per\u00f2 noi abbiamo delle sfere: in questo caso gli spazi interni sono molto maggiori che nel caso bidimensionale, e si pu\u00f2 dimostrare – almeno qualcuno l’ha fatto, io in geometria solida sono una capra – che il volume minore si ha con la configurazione “a salsiccia”, dove tutte le sfere sono in fila con i loro centri sulla stessa retta. Questo continua ad essere valido fino a 56 palle: aggiungendone una cinquantasettesima, il sistema collassa e il volume minore lo si ottiene con un “sacco di patate” di sfere. Non sono riuscito a trovare un disegno di questo sacco di patate, e metterne uno a caso non mi pareva bello.<\/p>\n Se saliamo a quattro dimensioni, sappiamo – siamo seri: qualcuno ha dimostrato che, e io mi fido sulla parola – che fino a 50.000 ipersfere \u00e8 meglio la configurazione a ipersalsiccia, ma con 100.000 ipersfere \u00e8 meglio avere un ipersacco. Nessuno sa quale sia il limite esatto in cui la salsiccia non funziona pi\u00f9. E poi? Beh, nel 1975 Laszlo Fejes T\u00f3th formul\u00f2 la Sausage Conjecture, per l’appunto la congettura delle salsicce: per qualunque dimensione n<\/em>\u22655, la configurazione con il minore n<\/em>-volume \u00e8 quella a salsiccia, qualunque sia il numero di n<\/em>-sfere che abbiamo. Essendo una congettura, nessuno sa se \u00e8 vera o no: l’unico risultato parziale noto \u00e8 quello di U. Betke e M. Henk citato da MathWorld<\/a>, che ha dimostrato vera la congettura della salsiccia per le dimensioni superiori o uguali a … 42. Douglas Adams ne sarebbe stato deliziato: non penso sia quella la Risposta alla Domanda Fondamentale sulla Vita, sull’Universo e su Tutto Quanto, ma non si sa mai.<\/p>\n Ah: un grosso ringraziamento va a zar<\/a>, per avere scoperto che avevo in casa il testo pi\u00f9 comprensibile su questa congettura (Professor Stewart’s Cabinet of Mathematical Curiosities<\/em>) e soprattutto per avermi fatto maieuticamente scoprire perch\u00e9 non riuscivo a capire i riferimenti in rete che avevo trovato, tanto che questo post ce l’avevo in canna da quasi un mese. La risposta era semplice: sia MathNEXUS<\/a> che Just A Theory<\/a> avevano malinterpretato le parole di Stewart e scritto che in due dimensioni il pi\u00f9 piccolo caso in cui non si aveva una salsiccia era quello con sette cerchi. Ovviamente i conti non tornavano, ma io continuavo a fidarmi di quanto scritto…<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Impacchettare sfere in maniera ottimale \u00e8 un compito insolitamente difficile, soprattutto negli spazi a pi\u00f9 dimensioni: per\u00f2 la Risposta \u00e8 sempre in agguato… Continue reading <\/a>