{"id":2545,"date":"2012-11-09T11:02:59","date_gmt":"2012-11-09T10:02:59","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2545"},"modified":"2022-10-11T11:11:27","modified_gmt":"2022-10-11T09:11:27","slug":"quanti-tipi-di-probabilita","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/2012\/11\/09\/quanti-tipi-di-probabilita\/","title":{"rendered":"Quanti tipi di probabilit\u00e0!"},"content":{"rendered":"

La vignetta odierna di xkcd<\/a> mostra, con il solito umorismo di Randall Munroe, come si possono avere due idee completamente diverse di probabilit\u00e0. <\/p>\n

\"frequentisti<\/a>

frequentisti e bayesiani, da http:\/\/xkcd.com\/1132\/<\/p><\/div>\n

Per chi non \u00e8 troppo a suo agio con l’inglese, ecco una traduzione alla bell’e meglio.
\nTitolo<\/strong>: “\u00c8 appena esploso il sole? (\u00e8 notte, non possiamo esserne certi)”
\nF<\/strong>: Questo rivelatore di neutrini misura se il sole \u00e8 diventato una nova.
\nB<\/strong>: Poi lancia due dadi: se escono due sei, dar\u00e0 una risposta errata, altrimenti dar\u00e0 quella corretta.
\nF<\/strong>: Proviamoci. “Rivelatore! Il sole \u00e8 diventato una nova?”
\nR<\/strong>: (lancio di dadi) s\u00ec<\/tt>
\nLo statistico frequentista F<\/strong>: La probabilit\u00e0 che questo risultato sia dovuto al lancio dei dadi e`1\/36, cio\u00e8 il 2,7% circa. Visto che \u00e8 minore di p<\/i>=5%, concludo che il sole \u00e8 esploso.
\nLo statistico bayesiano B<\/strong>: Scommetto cinquanta dollari che non \u00e8 esploso.<\/p>\n

Detto cos\u00ec si capisce poco o nulla, mi sa, a meno che non sappiate qualcosa in pi\u00f9 su come funziona il concetto di probabilit\u00e0, o meglio di come le persone lo considerino. Solo che gi\u00e0 \u00e8 difficile che si parli di probabilit\u00e0 a scuola, figuriamoci della filosofia della probabilit\u00e0… ma niente paura, ghe pensi mi!<\/p>\n

Forse sapete che la teoria della probabilit\u00e0 si fa convenzionalmente nascere nel 1654, con uno scambio di lettere tra Blaise Pascal e Pierre de Fermat in cui il filosofo e l’avvocato discutevano il cosiddetto “problema dei punteggi”: se si \u00e8 fatta una scommessa su chi tra due giocatori raggiunge prima i sette punti, e la partita \u00e8 stata interrotta sul 3 a 1, come devono essere divisi i soldi della scommessa? \u00c8 vero: si giocava a dadi almeno dai tempi degli antichi greci, Giulio Cesare ha persino gettato il dado passando il Rubicone, e quel problema era gi\u00e0 stato trattato da gente del calibro di Pacioli e Tartaglia: ma la prima trattazione veramente matematica \u00e8 appunto questa. Probabilmente l’azzardo, oltre che essere inerentemente anticristiano (quantunque proprio Pascal fece una certa scommessa…) veniva considerato troppo accidentale per essere associato alla purezza della matematica.<\/p>\n

In realt\u00e0 n\u00e9 Pascal n\u00e9 Fermat avevano ancora ben chiaro il concetto di probabilit\u00e0: quello che avevano calcolato era pi\u00f9 o meno quanto oggi definiamo il valore atteso. Il primo matematico che diede una vera definizione di probabilit\u00e0 fu cos\u00ec Pierre-Simon de Laplace, che nel suo libro Essai philosophique sur les probabilit\u00e9s<\/i> scrisse<\/p>\n

La teoria della probabilit\u00e0 consiste nel ridurre tutti gli eventi dello stesso tipo a un certo numero di casi ugualmente probabili, vale a dire, per cui siamo ugualmente indecisi per quanto riguarda la loro esistenza; e nel determinare il numero di casi favorevoli all’evento la cui probabilit\u00e0 \u00e8 cercata. Il rapporto tra questo numero e quello di tutti i casi possibili \u00e8 la misura di questa probabilit\u00e0, che \u00e8 cos\u00ec semplicemente una frazione il cui numeratore \u00e8 il numero di casi favorevoli e il cui denominatore \u00e8 il numero di tutti i casi possibili.<\/p><\/blockquote>\n

Quella definita qui sopra \u00e8 la cosiddetta definizione classica di probabilit\u00e0<\/strong>, ed \u00e8 quella che probabilmente tutti noi abbiamo iniziato a usare quando ci hanno insegnato a calcolare la probabilit\u00e0. Per dire: se vogliamo calcolare la probabilit\u00e0 che lanciando un dado da 20 esca un numero primo, facciamo innanzitutto l’assunto (implicito, perch\u00e9 siamo persone fiduciose) che il dado non sia truccato e quindi non abbiamo nessuna ragione a priori per poter dire che esca un numero piuttosto che un altro; contiamo poi il numero di casi che ci vanno bene (coi numeri 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 e 19, vale a dire in otto casi) e ricaviamo la nostra probabilit\u00e0 come 8\/20, cio\u00e8 2\/5. Laplace, che in fin dei conti \u00e8 uno che non aveva molti peli sulla lingua e replic\u00f2 a Napoleone – che gli aveva chiesto come mai nella sua Meccanica celeste<\/i> non si parlasse di Dio – \u00abNon ho avuto bisogno di questa ipotesi\u00bb, esager\u00f2 un po’ quando cerc\u00f2 di stimare la probabilit\u00e0 che il sole sorgesse all’indomani contando come casi favorevoli tutti i giorni passati; ma il principio rimane.<\/p>\n

Non c’\u00e8 nulla di male nella definizione classica di probabilit\u00e0… quando la si pu\u00f2 applicare. Con un dado va bene: per\u00f2 c’era una storiella di Martin Gardner che raccontava di un dialogo sulla probabilit\u00e0 di vita su Marte: il povero interlocutore concordava sul fatto che, non avendo nessun dato a favore o contro, la probabilit\u00e0 che ci fossero dei cani era il 50%; lo stesso per gatti, mucche, topi, conigli e cos\u00ec via, ed essendo tutte queste probabilit\u00e0 indipendenti il tapino era costretto ad ammettere che la probabilit\u00e0 che ci fosse almeno un tipo di animale era praticamente il 100%. Come fare ad ampliare l’applicazione della probabilit\u00e0 ai casi in cui non si riesce ad avere un modello di casi equiprobabili e ugualmente possibili, quello che viene chiamato principio di indifferenza<\/i>? La risposta che \u00e8 stata data, e che a quanto mi consta \u00e8 quella attualmente preferita, \u00e8 la definizione frequentistica di probabilit\u00e0<\/strong>. In poche parole, con questa definizione la probabilit\u00e0 di un evento \u00e8 il limite del rapporto tra i casi favorevoli e quelli totali al tendere all’infinito del numero di ripetizioni di quell’evento. Riprendendo il nostro dado da 20, non ipotizzo pi\u00f9 che le varie facce appaiano con la stessa probabilit\u00e0; lancio invece il dado un milione di volte, scopro che il valore \u00e8 stato un numero primo 199.742 volte, e inferisco che la probabilit\u00e0 \u00e8 circa il 20%. Un classico esempio frequentista \u00e8 quello dell’ago di Buffon<\/a> (no, non il portiere!) per calcolare il valore di pi greco: π, o meglio una sua funzione, \u00e8 il limite tra il numero di lanci di un ago su un pavimento a righe e quelli in cui l’ago tocca una riga.<\/p>\n

L’esempio del dado pu\u00f2 sembrare contorto: anche un frequentista non si metterebbe a fare tutti quegli esperimenti. Certo per\u00f2 che se li faccio e trovo un valore inaspettato, tipo 271.828 casi favorevoli su un milione, comincio a chiedermi se in effetti il dado non sia truccato… Come avrete intuito, un frequentista, pi\u00f9 che un probabilista puro, tende comunque a essere uno statistico; tornando alla vignetta di xkcd, il nostro amico F considera che la probabilit\u00e0 del doppio sei \u00e8 statisticamente irrilevante, con un intervallo di confidenza del 5%, e quindi rifiuta quell’ipotesi ed \u00e8 costretto ad ammettere che sia l’altra possibilit\u00e0, cio\u00e8 che il sole sia esploso, a essere vera. Naturalmente non succederebbe mai davvero cos\u00ec, la battuta nasce proprio come battuta; ma il principio di base \u00e8 appunto quello, scegliere un’ipotesi e verificare se la realt\u00e0 \u00e8 sufficientemente coerente con l’ipotesi. Detto cos\u00ec fa ridere, ma sotto sotto \u00e8 proprio questo che si fa. (Ah: secondo Wikipedia<\/a> la parola “frequentista” \u00e8 piuttosto recente: la prima occorrenza \u00e8 del 1949. Fortunato il mondo che pu\u00f2 usare un concetto senza avere a disposizione una parola per definirlo!)<\/p>\n

Per usare la definizione frequentista, per\u00f2, occorre avere la possibilit\u00e0 di ripetere l’esperimento un gran numero di volte, cosa che non sempre \u00e8 fattibile. Prendiamo le previsioni del tempo: non possiamo certo rimettere un milione di volte nella stessa identica posizione tutte le farfalle che sbattono le ali, per vedere quante volte arriva un tornado! L’approccio che si usa in casi come questo \u00e8 la definizione bayesiana della probabilit\u00e0<\/strong>. Il nome “bayesiano” deriva dal teorema che prende il nome dal reverendo anglicano Thomas Bayes<\/a>, anche se poi, come capita spesso in matematica, in realt\u00e0 non sia stato affatto lui a divulgarlo per primo. Tolgo subito un dubbio: il teorema di Bayes, che ricava la probabilit\u00e0 a posteriori di un evento E dato un altro evento A dalle probabilit\u00e0 a priori di A ed E insieme alla probabilit\u00e0 di A dato l’evento E, \u00e8 accettato da tutti. Quello che cambia tra frequentisti e bayesiani \u00e8 l’interpretazione<\/i> del teorema: pi\u00f9 precisamente i frequentisti non lo interpretano, al pi\u00f9 lo applicano, mentre i bayesiani dicono che ogni nuovo evento ci serve per riaggiornare le probabilit\u00e0 che avevamo stimato in precedenza. Se ho stimato di fare canestro una volta su cinque e poi inizio a inanellare una serie di centri, \u00e8 chiaro che la mia stima di probabilit\u00e0 salir\u00e0: nel caso delle previsioni del tempo, le percentuali di pioggia che vengono date riflettono per l’appunto le serie storiche con un certo tipo di condizioni meteorologiche, e tali percentuali verranno man mano affinate col crescere dei dati. Notate che un bayesiano non ha – meglio, non vuole avere – nessuna idea su quale sia la probabilit\u00e0 effettiva, e si accontenta di avere il miglior risultato possibile. Nella vignetta, a dire il vero, il bayesiano fa il furbo, non avendo dati precedenti a disposizione: d’altra parte se il sole \u00e8 effettivamente diventato una nova non credo proprio che si dovr\u00e0 preoccupare di pagare la scommessa! <\/p>\n

Mi limito ad accennare ad altre due definizioni della probabilit\u00e0, che magari possono piacere a qualcuno dei lettori. La prima, dovuta principalmente a Kolmogorov<\/a>, \u00e8 la definizione assiomatica della probabilit\u00e0<\/strong>. Da buon hilbertiano, Kolmogorov non<\/i> definisce “cos’\u00e8” la probabilit\u00e0, ma definisce “come si comporta”: <\/p>\n

 1. A ciascun evento casuale A corrisponde un certo numero P(A) (la probabilit\u00e0 di A)
\n  2. Vale sempre 0 ≤ P(a) ≤ 1.
\n  3. La probabilit\u00e0 dell’evento certo \u00e8 1.
\n  4. La probabilit\u00e0 dell’unione di un numero finito o numerabile di eventi mutuamente esclusivi \u00e8 la somma delle probabilit\u00e0 dei singoli eventi.<\/p><\/blockquote>\n

Per la cronaca, il “numerabile” serve da un lato per gestire un numero infinito di elementi, dall’altro per salvarsi dai paradossi tipo “quant’\u00e8 la probabilit\u00e0 di scegliere un numero a caso nell’intervallo [0,1]?” Non pu\u00f2 essere diversa da zero, perch\u00e9 altrimenti la somma su tutti i numeri sarebbe infinita; ma se \u00e8 zero e la probabilit\u00e0 dell’unione di un qualunque numero di eventi esclusivi fosse la somma delle probabilit\u00e0 degli eventi, allora la somma sarebbe ancora zero. Cos\u00ec invece la somma non \u00e8 definita e possiamo far tornare i conti come ci piace.<\/p>\n

L’ultima definizione della probabilit\u00e0 \u00e8 quella di Bruno de Finetti<\/a>: la definizione soggettivista della probabilit\u00e0<\/strong>. Scrive de Finetti: <\/p>\n

\u00abnon ha senso parlare della probabilit\u00e0 di un evento se non in relazione all’insieme di conoscenze di cui una persona dispone. […] La probabilit\u00e0 soggettiva \u00e8 quindi un aiuto per dare un’attendibile misura di ci\u00f2 che non si pu\u00f2 misurare oggettivamente\u00bb.<\/p><\/blockquote>\n

In pratica, la probabilit\u00e0 soggettiva si ha quando non \u00e8 possibile ripetere l’evento, e una persona prende tutte le informazioni che ha a disposizione per dare una stima: di nuovo, le previsioni del tempo sono un esempio classico, coi meteorologi pi\u00f9 o meno bravi che stimano la probabilit\u00e0 di pioggia date le perturbazioni che si stanno muovendo a centinaia o migliaia di chilometri di distanza. Naturalmente un simile approccio \u00e8 inerentemente difficile da quantificare: per\u00f2 pu\u00f2 essere statisticamente utile per ricavare previsioni a partire da un gran numero di dati, e sicuramente non soffre di pregiudizi: sono tutti gi\u00e0 impliciti nella previsione!<\/p>\n

[almeno finch\u00e9 i commenti sul Post non funzionano, potete provare a usare Friendfeed: http:\/\/ff.im\/17NryS ]<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

La vignetta di oggi di xkcd racconta solo una piccola parte delle interpretazioni della probabilit\u00e0 che si sono succedute nei secoli. Continue reading →<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_lmt_disableupdate":"","_lmt_disable":"","jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2}},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-2545","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"modified_by":".mau.","jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/p6hpX6-F3","jetpack-related-posts":[{"id":2561,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/2013\/01\/16\/quando-fare-troppi-conti-e-fuorviante\/","url_meta":{"origin":2545,"position":0},"title":"Quando fare troppi conti \u00e8 fuorviante","author":".mau.","date":"16\/01\/2013","format":false,"excerpt":"La vignetta di oggi di xkcd prende in giro certe percentuali altisonanti","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/i0.wp.com\/imgs.xkcd.com\/comics\/hand_sanitizer.png?resize=350%2C200","width":350,"height":200,"srcset":"https:\/\/i0.wp.com\/imgs.xkcd.com\/comics\/hand_sanitizer.png?resize=350%2C200 1x, https:\/\/i0.wp.com\/imgs.xkcd.com\/comics\/hand_sanitizer.png?resize=525%2C300 1.5x"},"classes":[]},{"id":2340,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/2010\/10\/12\/taglia-e-raddoppia\/","url_meta":{"origin":2545,"position":1},"title":"Taglia e raddoppia","author":".mau.","date":"12\/10\/2010","format":false,"excerpt":"L'assioma della scelta \u00e8 un'affermazione che cos\u00ec a prima vista sembra assolutamente ovvia; peccato che usandolo si arrivi a dimostrare che \u00e8 possibile partire da una sfera, tagliuzzarla in modo opportuno, spostare i pezzi ottenuti e ricavare due sfere identiche a quella originale. Come se la cavano i matematici?","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"xkcd e il paradosso di Banach-Tarski","src":"https:\/\/i0.wp.com\/www.ilpost.it\/wp-content\/uploads\/bloggers\/2010\/10\/xkcd804.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200,"srcset":"https:\/\/i0.wp.com\/www.ilpost.it\/wp-content\/uploads\/bloggers\/2010\/10\/xkcd804.png?resize=350%2C200&ssl=1 1x, https:\/\/i0.wp.com\/www.ilpost.it\/wp-content\/uploads\/bloggers\/2010\/10\/xkcd804.png?resize=525%2C300&ssl=1 1.5x"},"classes":[]},{"id":2509,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/2012\/06\/18\/per-non-parlare-di-biscotti\/","url_meta":{"origin":2545,"position":2},"title":"Per non parlare di biscotti","author":".mau.","date":"18\/06\/2012","format":false,"excerpt":"La palla \u00e8 rotonda, si sa: e in effetti non \u00e8 cos\u00ec strano che ci sia una sorpresa nei gironi ad eliminazione con poche partite","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":1718,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/2020\/05\/07\/john-horton-conway-e-la-matematica-come-gioco\/","url_meta":{"origin":2545,"position":3},"title":"John Horton Conway e la matematica come gioco","author":".mau.","date":"07\/05\/2020","format":false,"excerpt":"Conway aveva un modo diverso di fare matematica, forse non migliore degli altri ma sicuramente pi\u00f9 divertente.","rel":"","context":"In \"John Conway\"","block_context":{"text":"John Conway","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/tag\/john-conway\/"},"img":{"alt_text":"glider","src":"https:\/\/upload.wikimedia.org\/wikipedia\/commons\/f\/f2\/Game_of_life_animated_glider.gif","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":2487,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/2012\/03\/26\/maturita-distribuita\/","url_meta":{"origin":2545,"position":4},"title":"Maturit\u00e0 distribuita","author":".mau.","date":"26\/03\/2012","format":false,"excerpt":"Qual \u00e8 il miglior sistema per distribuire un contenuto in maniera sicura?","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":2511,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/2012\/06\/22\/la-grande-truffa-dei-playoff\/","url_meta":{"origin":2545,"position":5},"title":"La grande truffa dei playoff","author":".mau.","date":"22\/06\/2012","format":false,"excerpt":"Crederete mica che avere pi\u00f9 di uno scontro tra le stesse squadre serva a rendere pi\u00f9 equilibrato il risultato?","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]}],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2545","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2545"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2545\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2546,"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2545\/revisions\/2546"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2545"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2545"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2545"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}