Il libro di Paul Zeitz che sto leggendo, The Art and Craft of Problem Solving<\/i>, dovrebbe insegnare i trucchi per risolvere i problemi matematici. Non so se \u00e8 vero, sono ancora all’inizio. Per\u00f2 mi \u00e8 piaciuta molto la distinzione che l’autore ha fatto tra problema<\/b> ed esercizio<\/b>, anche perch\u00e9 credo che sia un punto fondamentale nel capire perch\u00e9 tanta gente odia la matematica. Ma andiamo con ordine.<\/p>\n
Per Zeitz, un esercizio \u00e8 qualcosa che si sa esattamente come risolvere: se dato come compito a scuola, richieder\u00e0 con tutta probabilit\u00e0 di usare gli argomenti appena svolti a lezione. Attenzione: non \u00e8 detto che si riesca a risolvere un esercizio, perch\u00e9 magari si sbagliano i conti oppure non ci si ricorda in tutti i suoi particolari il concetto che si sa dovere usare. Per fare un esempio della vita reale, montare un mobile Ikea \u00e8 un esercizio: le istruzioni sono tutte disegnate in quel foglietto senza parole che viene spacciato per manuale. Che un imbranato come me non riesca mai a ottenere un risultato perfetto al primo colpo \u00e8 un fatto secondario per il progettista Ikea – per me non lo \u00e8 affatto, ma spero abbiate colto la similitudine.<\/p>\n
Un problema \u00e8 invece qualcosa che non sappiamo affatto come affrontare, e per cui dobbiamo costruirci il percorso che porta alla soluzione. Per tornare alla similitudine precedente, non solo non abbiamo il manuale ma non abbiamo nemmeno i pezzi del mobile! C’\u00e8 solo un magazzino da cui prelevare viti e chiodi, e magari una sega e una pialla oltre a tronchi di legno da tagliare secondo la forma che ci occorre. Con un po’ di allenamento probabilmente certe cose si fanno in automatico, ma la logica rimane comunque quella che il lavoro \u00e8 da capire prima ancora che da fare.<\/p>\n
Come esempio di problema matematico, eccone uno dalle prime pagine del libro, quindi relativamente semplice. Dopo l’esposizione metto la risoluzione; potete pertanto scegliere se provare a risolverlo da voi, leggere qual \u00e8 stato il mio modo di pensare, oppure saltare tutto fino al simbolo di Halmos ∎ e andare alle considerazioni didattiche che sono la parte pi\u00f9 importante di questo post. Non mi offendo comunque.<\/p>\n
Il problema, proposto alla Putnam Mathematical Competition nel 1990, \u00e8 il seguente. Sia T0<\/sub> = 2, T1<\/sub> = 3, T2<\/sub> = 6, e per n<\/i> ≥ 3 valga la relazione di ricorrenza Tn<\/i><\/sub> = (n<\/i>+4)Tn<\/i>−1<\/sub> − 4n<\/i>Tn<\/i>−2<\/sub> + (4n<\/i>−8)Tn<\/i>−3<\/sub> Per prima cosa, vorrei far notare come il problema sia stato facilitato (lo so, molti di voi non ci credono affatto): sono stati gi\u00e0 esplicitati i primi valori che quindi non dobbiamo calcolarci noi, e ci viene detto che tipo di formula cercare. Prendiamo, portiamo a casa e andiamo avanti; o meglio, vi spiego come sono andati avanti io. Leggendo il problema, ho notato inizialmente che 14=6·2+2, 40=14·3−2, 152=40·4−8. Questa in realt\u00e0 \u00e8 una falsa pista, ma mi ha permesso di notare che 40576 \u00e8 quasi 5168·8 e 363392 \u00e8 quasi 440576·9; quindi ho pensato che An<\/i><\/sub> potesse essere n<\/i>!. Scritti i primi fattoriali 1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040 ho calcolato le differenze con i valori di Tn<\/i><\/sub>, che sono pari a 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128… toh, quindi Bn<\/i><\/sub> \u00e8 uguale a 2n<\/i><\/sup>. A questo punto non mi restava che dimostrare la congettura, cosa che ovviamente si fa per induzione; solo che non avevo voglia di alzarmi per prendere carta e penna e quindi ho dichiarato risolto il problema. ∎<\/p>\n Che dire di tutto questo? Beh, innanzitutto penso sia chiaro che un problema pu\u00f2 contenere al suo interno degli esercizi. Nel problema qui sopra la parte di dimostrazione della congettura \u00e8 chiaramente un esercizio: uno studente di matematica sa perfettamente che quando bisogna dimostrare che una definizione ricorsiva \u00e8 equivalente a una definizione non ricorsiva l’induzione \u00e8 il metodo principe. Inoltre se i primi valori della successione non ci fossero gi\u00e0 stati forniti ce li saremmo probabilmente dovuti calcolare noi a mano. Ma \u00e8 ancora pi\u00f9 importante notare come di solito gli esercizi siano di una noia mortale, anche per coloro a cui piace la matematica… e non parliamo degli altri, quelli che la matematica la odiano a prescindere. I problemi, invece, possono essere causa di frustrazione quando non si riesce a cavare un ragno dal buco; ma almeno hanno il vantaggio di non essere noiosi e ripetitivi. <\/p>\n Dopo questo pippone, mi piacerebbe capire come si potrebbe applicare il tutto alla matematica che si insegna a scuola. Non essendo io un insegnante non so assolutamente cosa succeda in pratica; sono ragionevolmente convinto che fare un po’ di esercizi serva per “prendere la mano”, e ho dei grossi dubbi che in una classe, anche con un (bel) po’ di aiuto da parte del professore, siano in molti ad essere capaci di risolvere problemi. A dirla tutta non sono nemmeno convinto che sia necessario che tutti gli studenti debbano essere in grado di risolvere problemi matematici, ma qui usciamo parecchio dal seminato. Ma secondo voi avrebbe senso far fare meno esercizi e pi\u00f9 problemi? E ci sarebbe un miglioramento nella percezione della matematica, oppure il comun sentire passerebbe da “roba noiosa e incomprensibile” a “roba astrusa e incomprensibile”? Perch\u00e9 diciamocelo: io posso apprezzare un problema matematico, anche perch\u00e9 sono abbastanza competitivo da cercare di risolverlo immediatamente, ma al 99% della gente magari la cosa non pu\u00f2 interessare meno…<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Sappiamo che non esiste una via regia per la matematica, e che bisogna mettersi a faticare per ottenere dei risultati. Ma c’\u00e8 modo e modo di faticare: svolgere esercizi o risolvere problemi sono due attivit\u00e0 ben diverse. Continue reading
\nI primi termini della successione Tn<\/i><\/sub> sono 2, 3, 6, 14, 40, 152, 784, 5168, 40576, 363392. Trovate una formula esplicita per Tn<\/i><\/sub> del tipo Tn<\/i><\/sub> = An<\/i><\/sub> + Bn<\/i><\/sub>, dove An<\/i><\/sub> e Bn<\/i><\/sub> sono successioni ben note.<\/p>\n