{"id":2340,"date":"2010-10-12T02:30:51","date_gmt":"2010-10-12T00:30:51","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=2340"},"modified":"2022-10-10T21:54:22","modified_gmt":"2022-10-10T19:54:22","slug":"taglia-e-raddoppia","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/2010\/10\/12\/taglia-e-raddoppia\/","title":{"rendered":"Taglia e raddoppia"},"content":{"rendered":"

Mi sa che la vignetta di ieri di xkcd<\/a>, mostrata qui sotto, abbia lasciato perplessi parecchi degli estimatori di Randall Munroe. Non tanto per le zucche scavate, ch\u00e9 ormai sono state fatte diventare di moda anche in Italia, senza contare tutti gli adepti dello schultziano culto del Grande Cocomero; quanto per l’ultima vignetta. N\u00e9 probabilmente avr\u00e0 aiutato il commento che si pu\u00f2 leggere passando il mouse sulla vignetta, e che dice \u00abIl teorema di Banach-Tarski fu in effetti enunciato gi\u00e0 da Re Salomone, ma i suoi raccapriccianti tentativi di applicarlo bloccarono per secoli l’avanzamento della teoria\u00bb. Cosa c’\u00e8 dietro tutto questo?
\n\"xkcd<\/a><\/p>\n

Tutto incomincia con l’assioma della scelta<\/a><\/b> (ne avevo gi\u00e0 accennato in un altro post<\/a>), come del resto indicato nell’ultima vignetta. Tale assioma nasce nella teoria degli insiemi, e afferma che \u00abData una famiglia non vuota di insiemi non vuoti, esiste una funzione che fa corrispondere a ogni insieme della famiglia un suo elemento.\u00bb<\/i>. Detto in maniera pi\u00f9 semplice, immaginiamo di avere tanti sacchetti di biglie, ed essere sicuri che ciascun sacchetto contiene almeno una biglia. Allora posso crearmi la mia collezione di biglie prendendone una per ciascun sacchetto. Tutto qui, direte? Non \u00e8 forse ovvio? Beh, mica tanto. In effetti la cosa \u00e8 stata considerata ovvia per secoli, e solo alla fine del XIX secolo qualcuno (Peano e altri) ci ha pensato su un po’ pi\u00f9 attentamente e si \u00e8 accorto che non era proprio cos\u00ec. Per la cronaca, la formula esplicita dell’assioma della scelta \u00e8 di Ernst Zermelo (anche di lui ho gi\u00e0 parlato, a proposito di Chomp<\/a>) ed \u00e8 datata 1904. <\/p>\n

Specifichiamo ancora meglio la cosa. Se abbiamo un numero finito di sacchetti ciascuno dei quali contiene un numero finito di palline, l’assioma \u00e8 banalmente vero: metti in fila le palline e prendi la prima della fila. Se hai un numero infinito di sacchetti, ma il contenuto dei sacchetti \u00e8 distinguibile, chess\u00f2 in ciascun sacchetto c’\u00e8 un paio di scarpe, di nuovo non c’\u00e8 problema; basta che tu decida di prendere la scarpa sinistra da ciascun sacchetto –. Abbiamo insomma una funzione di scelta<\/b> che si applica una volta per tutte a tutti gli infiniti sacchetti, pardon insiemi. Il guaio si ha quando hai un numero infinito di sacchetti con dentro oggetti indistinguibili, per esempio paia di calzini. Tu puoi scegliere un calzino da un numero finito a piacere di sacchetti, ma non hai nessun modo per definire in un colpo solo quali calzini prendere; il problema \u00e8 tutto qui. <\/p>\n

Ma \u00e8 davvero un problema? Dipende da quello che intendete per problema. Quando all’universit\u00e0 si fa analisi matematica, quasi tutti accettano l’assioma della scelta, non dico con gioia ma almeno senza pensarci troppo su, perch\u00e9 altrimenti di teoremi interessanti se ne dimostrano pochini. Per\u00f2 se uno inizia ad accettare l’assioma della scelta si trova immediatamente su una china che lo porta al paradosso di Banach-Tarski<\/a>, che paradosso non \u00e8 affatto essendo un teorema regolarmente dimostrabile. Il Teorema<\/i> di Banach-Tarski afferma che, se si accetta l’assioma della scelta, \u00e8 possibile suddividere una sfera in un numero finito di parti (ne bastano anche solo cinque…) tali che, semplicemente spostandole e ruotandole ma senza modificare la loro forma, si possano ottenere due<\/b> sfere assolutamente identiche alla prima (e tutte piene, non \u00e8 che ci sia il trucco della sfera con un buco dentro). I due matematici polacchi speravano cos\u00ec di eliminare del tutto l’uso dell’assioma della scelta, cosa che come ho scritto sopra non \u00e8 loro riuscita, visto che i matematici quando si mettono possono essere davvero testardi. D’altra parte, \u00e8 stato dimostrato che sia accettando l’assioma della scelta che accettando la sua negazione non si introducono contraddizioni in matematica; la scelta :-)<\/tt> insomma \u00e8 assolutamente libera, e uno pu\u00f2 preferire una posizione all’altra semplicemente perch\u00e9 trova “ripugnanti” i risultati ottenibili, un po’ come \u00e8 capitato a Saccheri nel suo tentativo di dimostrare il quinto postulato di Euclide<\/a>.<\/p>\n

\"il<\/a><\/p>\n

Perch\u00e9 il paradosso non \u00e8 un paradosso? Perch\u00e9 in realt\u00e0 di paradossale non c’\u00e8 nulla, o meglio c’\u00e8 solo mantenendo la definizione di paradosso come “qualcosa che sembra impossibile ma in effetti non lo \u00e8”. Infatti il numero di punti nelle due sfere \u00e8 esattamente lo stesso, il numero cardinale c<\/b>. Inoltre i vari “pezzi” ottenuti non sono dei pezzi nel vero senso della parola, ma possiamo immaginarli (tranne uno che \u00e8 il singolo punto al centro della sfera originaria) come una specie di nuvola che occupa tutto lo spazio della sfera ma a cui non si pu\u00f2 assegnare un volume definito; tecnicamente si dice che sono insiemi non misurabili<\/i>. Infine, e questa \u00e8 la cosa pi\u00f9 importante, non \u00e8 possibile scegliere un punto a caso della sfera e dire \u00abquesto punto finir\u00e0 in questa sfera\u00bb; le dimostrazioni sono infatti di esistenza e non costruttive. La maggior parte dei matematici insomma scrolla la testa, dice \u00abtoh, che strano\u00bb, e passa a fare dell’altro.<\/p>\n

All’inizio ho accennato al fatto che il problema con l’assioma della scelta \u00e8 legato alla necessit\u00e0 di definire una funzione di scelta; qualcuno potrebbe pensare che basterebbe ordinare tutti gli elementi di ciascun insieme e prendere il primo (non l’ultimo, perch\u00e9 se gli elementi sono infiniti non c’\u00e8 un ultimo elemento!) per avere la nostra funzione di scelta. E infatti i matematici della fine dell’Ottocento pensavano di fare cos\u00ec, ma poi si sono accorti che nessuno riusciva a definire un buon ordinamento<\/i> dei numeri reali; mettere cio\u00e8 tutti i numeri reali in un certo ordine in modo che un qualunque sottoinsieme non vuoto dei reali ha un elemento minimo. Evidentemente non si pu\u00f2 usare l’ordine usuale, dire cio\u00e8 che a<\/i> \u00e8 prima di b<\/i> se a<\/i> < b<\/i>; un controesempio \u00e8 dato dall’insieme dei numeri positivi che non ha minimo perch\u00e9 ci si pu\u00f2 avvicinare a piacere a zero. Ma di ordinamenti possibili ce ne sono a bizzeffe: magari uno buono c’\u00e8 anche… Beh, s\u00ec: esiste il Teorema del buon ordinamento<\/a> che ce lo assicura. Peccato che per dimostrare questo teorema occorra l’assioma della scelta… (e viceversa, se si prende come assioma il buon ordinamento allora si pu\u00f2 dimostrare l’assioma della scelta; insomma le due affermazioni sono equivalenti). Nel caso di insiemi numerabili il buon ordinamento \u00e8 garantito dal principio di induzione matematica, e fin qua i matematici sono tutti d’accordo; quando si passa alla cardinalit\u00e0 del continuo le cose cambiano, come chios\u00f2 umoristicamente il matematico americano Jerry Bona che disse \u00abL’assioma della scelta \u00e8 ovviamente vero, il principio del buon ordinamento \u00e8 ovviamente falso, e per quanto riguarda il Lemma di Zorn, chi riesce a capirci qualcosa?\u00bb (il Lemma di Zorn \u00e8 una formulazione molto tecnica che vi risparmio)<\/p>\n

Insomma, come raccontavo quando parlavo dell’infinito, la storia \u00e8 sempre la stessa; lavorando con l’infinito spuntano paradossi ad ogni angolo, e quindi non solo bisogna muoversi con i piedi di piombo ma anche decidere cosa si pu\u00f2 accettare anche se sembra andare contro la nostra intuizione.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

L’assioma della scelta \u00e8 un’affermazione che cos\u00ec a prima vista sembra assolutamente ovvia; peccato che usandolo si arrivi a dimostrare che \u00e8 possibile partire da una sfera, tagliuzzarla in modo opportuno, spostare i pezzi ottenuti e ricavare due sfere identiche a quella originale. Come se la cavano i matematici? Continue reading →<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_lmt_disableupdate":"","_lmt_disable":"","jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2}},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-2340","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"modified_by":".mau.","jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/p6hpX6-BK","jetpack-related-posts":[{"id":2561,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/2013\/01\/16\/quando-fare-troppi-conti-e-fuorviante\/","url_meta":{"origin":2340,"position":0},"title":"Quando fare troppi conti \u00e8 fuorviante","author":".mau.","date":"16\/01\/2013","format":false,"excerpt":"La vignetta di oggi di xkcd prende in giro certe percentuali altisonanti","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/i0.wp.com\/imgs.xkcd.com\/comics\/hand_sanitizer.png?resize=350%2C200","width":350,"height":200,"srcset":"https:\/\/i0.wp.com\/imgs.xkcd.com\/comics\/hand_sanitizer.png?resize=350%2C200 1x, https:\/\/i0.wp.com\/imgs.xkcd.com\/comics\/hand_sanitizer.png?resize=525%2C300 1.5x"},"classes":[]},{"id":2180,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/2022\/05\/11\/matematica-e-sport-un-vero-parallelo\/","url_meta":{"origin":2340,"position":1},"title":"Matematica e sport: un vero parallelo?","author":".mau.","date":"11\/05\/2022","format":false,"excerpt":"La striscia di SMBC \u00e8 divertente, ma non posso dire che le cose vadano veramente cos\u00ec.","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"vignetta smbc","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2022\/05\/smbc-1652207144-20220510.png?resize=350%2C200","width":350,"height":200,"srcset":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2022\/05\/smbc-1652207144-20220510.png?resize=350%2C200 1x, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2022\/05\/smbc-1652207144-20220510.png?resize=525%2C300 1.5x"},"classes":[]},{"id":298,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/2014\/06\/06\/geometria-a-pallini\/","url_meta":{"origin":2340,"position":2},"title":"Geometria a pallini","author":".mau.","date":"06\/06\/2014","format":false,"excerpt":"Punto, retta e piano sono davvero concetti cos\u00ec naturali da non poter essere diversi? Mica tanto.","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"[i nove punti del nostro piano]","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2014\/06\/set.png?resize=350%2C200","width":350,"height":200,"srcset":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2014\/06\/set.png?resize=350%2C200 1x, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2014\/06\/set.png?resize=525%2C300 1.5x"},"classes":[]},{"id":1866,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/2020\/11\/30\/recensione-la-funzione-del-mondo\/","url_meta":{"origin":2340,"position":3},"title":"Recensione: La funzione del mondo","author":".mau.","date":"30\/11\/2020","format":false,"excerpt":"Bellissima trasposizione a fumetti della vita di un grande matematico italiano misconosciuto - almeno in patria","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"copertina","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-content\/uploads\/sites\/4\/2020\/11\/9788807550676.jpg?resize=350%2C200","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":2545,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/2012\/11\/09\/quanti-tipi-di-probabilita\/","url_meta":{"origin":2340,"position":4},"title":"Quanti tipi di probabilit\u00e0!","author":".mau.","date":"09\/11\/2012","format":false,"excerpt":"La vignetta di oggi di xkcd racconta solo una piccola parte delle interpretazioni della probabilit\u00e0 che si sono succedute nei secoli.","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"frequentisti e bayesiani","src":"https:\/\/i0.wp.com\/www.ilpost.it\/wp-content\/uploads\/bloggers\/2012\/11\/xkcd1132.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":2487,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/2012\/03\/26\/maturita-distribuita\/","url_meta":{"origin":2340,"position":5},"title":"Maturit\u00e0 distribuita","author":".mau.","date":"26\/03\/2012","format":false,"excerpt":"Qual \u00e8 il miglior sistema per distribuire un contenuto in maniera sicura?","rel":"","context":"Similar post","block_context":{"text":"Similar post","link":""},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]}],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2340","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2340"}],"version-history":[{"count":1,"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2340\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2341,"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2340\/revisions\/2341"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2340"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2340"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2340"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}