Ebbene no! Non avevo finito di parlare dei numeri infiniti! Nella teoria cantoriana, infatti, ci sono due<\/b> tipi diversi di infiniti: quello dei numeri cardinali, quelli di cui si sente generalmente parlare, e quello dei numeri ordinali<\/i>, i fratelli sfigati che restano sempre in ombra. Per una volta, cerchiamo di alzare le luci della ribalta anche su di loro.<\/p>\n
Tanto per cominciare, i numeri ordinali sono un concetto assolutamente standard anche nella matematica che si studia a scuola, e li si trova persino nella vita di tutti i giorni. Quando parliamo della regina Elisabetta II o di papa Benedetto XVI, usiamo dei numeri ordinali (“secondo” e “sedicesimo”); detto in altro modo, abbiamo messo in ordine<\/b> (di data in cui hanno assunto il potere) i monarchi inglesi di nome Elisabetta e i sommi pontefice di nome Benedetto, e abbiamo visto in che posto si situava la persona di cui stavamo parlando. Anche quando mangiamo la quinta fetta di torta le abbiamo ordinate seguendo il tempo in cui ce le siamo portate alla bocca – e anticipando una probabile indigestione, ma di queste cose la matematica non si occupa. <\/p>\n
Finch\u00e9 si ha a che fare con i numeri finiti, non \u00e8 che ci sia una grande differenza tra i numeri ordinali e quelli cardinali, a parte il nome che si d\u00e0 loro; in fin dei conti, se prendiamo un insieme di 42 elementi in qualunque modo li si metta in ordine l’ultimo sar\u00e0 sempre il quarantaduesimo, non ci piove. Gli ordinali che troviamo in questo modo sono di tre tipi: c’\u00e8 lo 0, che deve essere postulato perch\u00e9 da qualche parte bisogna pure iniziare, anche se mettere in ordine zero elementi pu\u00f2 dare qualche problema a chi non \u00e8 aduso alle mirabolanti propriet\u00e0 dell’insieme vuoto. Poi ci sono i cosiddetti ordinali successori<\/b>; proprio come avere papa Benedetto XVI ci fa intuire che ci deve essere stato un suo predecessore di nome Benedetto XV, cos\u00ec l’ordinale chiamato 42 \u00e8 il successore di un altro ordinale (il 41, come sicuramente avrete intuito).<\/p>\n
Ma appena arriviamo all’infinito, come ormai avrete capito capita molto spesso, le cose assumono tutto un altro aspetto. Per prima cosa, ci sono degli ordinali infiniti? Beh, s\u00ec: se prendiamo ad esempio tutti i numeri interi li possiamo mettere in ordine crescente, e la successione (1, 2, 3, 4, 5…) \u00e8 (corrisponde a) un numero ordinale per la nostra definizione. Di quale numero ordinale questa successione \u00e8 il successore? Beh, “infinito meno uno” si direbbe non esistere (ma aspettatevi delle sorprese). In effetti il nostro numero ordinale transfinito, che \u00e8 chiamato ω, fa parte di una terza classe, quella degli ordinali limite<\/b>. Il limite di tutti gli ordinali finiti \u00e8 appunto ω. Avete notato? Niente lettere ebraiche. Si ritorna al greco, anche se si usa l’ultima lettera dell’alfabeto; scelta parecchio infelice, come vedremo poi. Il fatto di averlo chiamato in modo diverso dal pi\u00f9 piccolo cardinale transfinito vi dovrebbe far risuonare un campanellino in testa; in effetti \u00e8 proprio cos\u00ec, ma vedremo la prossima volta come questo campanellino suoner\u00e0 freneticamente.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Tra i numeri infiniti nella teoria di Cantor non ci sono solo i cardinali, ma anche gli ordinali, che usiamo quando non ci basta sapere quanti elementi ci sono ma anche in quale ordine stanno. Continue reading