{"id":1997,"date":"2021-07-02T20:19:47","date_gmt":"2021-07-02T19:19:47","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/?p=1997"},"modified":"2021-07-05T14:15:45","modified_gmt":"2021-07-05T13:15:45","slug":"dimostrazione-geometrica-dellirrazionalita-di-2","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/2021\/07\/02\/dimostrazione-geometrica-dellirrazionalita-di-2\/","title":{"rendered":"Dimostrazione geometrica dell’irrazionalit\u00e0 di √2"},"content":{"rendered":"

Una delle “dimostrazioni famose” in matematica \u00e8 sicuramente quella dell’irrazionalit\u00e0 della radice quadrata di 2, che ha distrutto la teoria pitagorica e forse anche Ippaso di Metaponto e ha dato una svolta a 90 gradi alla matematica greca, che ha deciso di non usare pi\u00f9 il concetto di numero come punto di partenza ma basarsi sulla geometria. <\/p>\n

La dimostrazione che si legge di solito parte immaginando per assurdo che √2 sia uguale a una frazione a<\/i>\/b<\/i>, con a<\/i> e b<\/i> interi positivi. Senza perdita di generalit\u00e0 possiamo anche supporre che a<\/i> e b<\/i> non abbiano fattori comuni, perch\u00e9 in caso contrario possiamo semplificare entrambi i valori. A questo punto, elevando al quadrato i due membri dell’uguaglianza, abbiamo che a<\/i>²\/b<\/i>²=2, cio\u00e8 a<\/i>²=2b<\/i>², da cui si vede che a<\/i>² \u00e8 pari. Poich\u00e9 il quadrato di un numero pari \u00e8 pari e il quadrato di un numero dispari \u00e8 dispari, otteniamo che a<\/i> \u00e8 anch’esso pari, e quindi possiamo scrivere a<\/i>=2c<\/i>. Sostituendo questo valore e semplificando, abbiamo 2c<\/i>²=b<\/i>², e per lo stesso ragionamento di prima vediamo che b<\/i> deve essere pari, assurdo perch\u00e9 non pu\u00f2 avere fattori in comune con a<\/i>.<\/p>\n

Tutto questo va benissimo, se non fosse per una piccola seccatura: questa dimostrazione non \u00e8 geometrica. Bene: ho scoperto nel libro Le fascinant nombre \u03c0<\/em> di Jean-Paul Delahaye una dimostrazione puramente geometrica, che potete vedere qui sotto.
\n\"\"<\/p>\n

Il quadrato ABCD<\/i> ha lato a<\/i> e diagonale b<\/i>, che supponiamo entrambi multipli di una lunghezza l<\/i>. Costruiamo la diagonale BD<\/i> e la bisettrice dell’angolo CBD<\/i> che incontra il lato CD<\/i> in E<\/i>; da E<\/i> tracciamo la perpendicolare a BD<\/i> che lo incontra in H<\/i>. <\/p>\n

I triangoli rettangoli BCE<\/i> e BHE<\/i> hanno gli angoli uguali e l’ipotenusa in comune, quindi sono congruenti, e pertanto CE<\/i>=EH<\/i>=c<\/i>. Il triangolo EHD<\/i> \u00e8 rettangolo per costruzione, ma \u00e8 anche isoscele (l’angolo in D<\/i> \u00e8 di 45 gradi), pertanto HD<\/i>=EH<\/i> e dunque c<\/i>=b<\/i>−a<\/i>. Ma EHD<\/i> \u00e8 simile a BAD<\/i>, dunque se definiamo d<\/i> il segmento DE<\/i>=a<\/i>−c<\/i> allora c<\/i> e d<\/i> sono lato e diagonale di un quadrato pi\u00f9 piccolo di quello con a<\/i> e b<\/i>, e sempre multipli della nostra lunghezza unitaria l<\/i>. Da qui possiamo ricominciare le nostre operazioni e ottenere coppie sempre pi\u00f9 piccole di numeri interi positivi fino a scendere sotto la lunghezza l<\/i>, il che \u00e8 assurdo. (Per la cronaca, questo tipo di dimostrazione si chiama “per discesa infinita” e piaceva tanto a Fermat…). <\/p>\n

Carino, no?<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Se preferite giocare con le figure anzich\u00e9 coi numeri, eccovi qua un esempio. Continue reading →<\/span><\/a><\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_lmt_disableupdate":"","_lmt_disable":"","jetpack_post_was_ever_published":false,"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":4,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2}},"categories":[1],"tags":[],"class_list":["post-1997","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-uncategorized"],"modified_by":".mau.","jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/p6hpX6-wd","jetpack-related-posts":[{"id":280,"url":"https:\/\/xmau.com\/wp\/ilpost\/2010\/11\/24\/ippaso-%e2%88%9a2-e-i-falsi-storici\/","url_meta":{"origin":1997,"position":0},"title":"Ippaso, \u221a2, e i falsi storici","author":".mau.","date":"24\/11\/2010","format":false,"excerpt":"La dimostrazione dell'irrazionalit\u00e0 della radice quadrata di due, agli occhi di noi moderni, \u00e8 piuttosto semplice, anche se possiamo immaginare che quando venne trovata fosse stata dirompente. 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