{"id":7732,"date":"2010-03-05T07:00:00","date_gmt":"2010-03-05T07:00:00","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2010\/03\/05\/linduzione_mate\/"},"modified":"2010-03-05T07:00:00","modified_gmt":"2010-03-05T07:00:00","slug":"linduzione_mate","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2010\/03\/05\/linduzione_mate\/","title":{"rendered":"L’induzione matematica [1\/2]"},"content":{"rendered":"

Lo sappiamo tutti: Sherlock Holmes \u00e8 il principe della deduzione. Almeno, ci \u00e8 sempre stato venduto in questo modo, anche se poi a guardar bene anche l’investigatore dal naso adunco – o meglio Arthur Conan Doyle – spesso barava e tirava fuori dal cappello alcune informazioni che non erano state date al lettore, oppure giungeva a conclusioni non certe ma altamente probabili. I filosofi affermano che il metodo holmesiano si dovrebbe pi\u00f9 correttamente definire abduzione<\/b>, come lo pseudosillogismo che da una premessa maggiore corretta (“tutti gli uomini sono mortali”) e una minore molto probabile (“Giulio Andreotti dovrebbe essere un uomo”) conclude con una conseguenza molto probabile (“si presume che prima o poi Andreotti morir\u00e0”). A proposito di abduzione, attenti ai falsi amici! In inglese “abduction” \u00e8 il rapimento, soprattutto se da parte di alieni… ma non divaghiamo.
\nIl vero regno del campo deduttivo \u00e8 naturalmente la matematica, dove si inizia a mettere i paletti (gli assiomi e i postulati) e da l\u00ec si va man mano avanti a dedurre i vari teoremi, come abbiamo tutti imparato quando abbiamo studiato geometria. Se ci pensarte un po’, per\u00f2, la deduzione \u00e8 un percorso in un certo qual senso sterile; tutto quello che deduciamo, per quanto possa sembrare incredibile – avete presente il cosiddetto teorema di Napoleone? Se si disegnano le trisettrici di un triangolo qualunque, queste si incontrano a due a due nei vertici di un triangolo equilatero – era gi\u00e0 presente in nuce<\/em> negli assiomi e postulati iniziali. Non abbiamo inventato nulla, ma solo scoperto quello che c’era gi\u00e0 fin dall’inizio. Ripensandoci, non \u00e8 affatto strano che la gran maggioranza dei matematici sia fondamentalmente della scuola platonista; a furia di trarre conseguenze logiche di quello che hai, ti inizia a sorgere il dubbio che gli enti matematici sono tutti l\u00ec da qualche parte, un po’ come in Flatterlandia<\/em>.
\nEppure anche in matematica c’\u00e8 un modo per tirare fuori qualcosa di nuovo: l’induzione<\/b> (“induzione matematica” se si vuole fare i precisini, ma in genere l’aggettivo si omette perch\u00e9 \u00e8 chiaro che si sta facendo matematica). Anche nel mondo di tutti i giorni si parla di “procedimento induttivo” , ma in realt\u00e0 \u00e8 tutta un’altra cosa; si vedono alcune correlazioni, per esempio che quando spunta il sole settembrino dopo un temporale si trovano molti funghi, e si stabilisce una legge generale, che il sole dopo la pioggia faccia crescere i funghi. Tale legge pu\u00f2 per\u00f2 essere vera o falsa, ed \u00e8 solo un risultato empirico che fa rabbrividire un qualunque matematico se applicato alla propria scienza. Qui si tratta di qualcosa di completamente diverso.
\nLa formalizzazione dell’induzione matematica \u00e8 stata data da Giuseppe Peano nella sua definizione dei numeri naturali. Gli assiomi di Peano sono cinque, come i postulati della geometria euclidea; l’induzione \u00e8 l’ultimo e il pi\u00f9 complicato da spiegare, proprio come in geometria euclidea. Dopo avere stabilito per legge che 0 \u00e8 un numero, che esiste una funzione S (“successore”) tale che se n<\/i> \u00e8 un numero anche S(n<\/i>) \u00e8 un numero (“per quanto grande sia un numero, posso sommarci uno”), che non esiste un numero x<\/i> tale che S(x<\/i>) = 0 (“zero \u00e8 il primo numero”), e che se ci sono due numeri m<\/i> e n<\/i> per cui S(m<\/i>) = S(n<\/i>) allora m<\/i> = n<\/i> (“posso mettere tutti i numeri in fila”), il quinto assioma dice che “Se una propriet\u00e0 P vale per 0 – cio\u00e8 P(0) \u00e8 vera – e sappiamo inoltre che se P vale per n<\/i> allora vale anche per S(n<\/i>), allora P vale per tutti i numeri naturali”. Per amor di precisione, il quinto assioma di Peano afferma che non ci sono altri numeri naturali al di fuori di questi, ma \u00e8 un punto secondario. In un certo senso, questo quinto assioma ricorda il postulato delle parallele: molto pi\u00f9 complicato degli altri, uno si chiede se \u00e8 proprio necessario e non si possa invece farne a meno. La risposta \u00e8 per\u00f2 molto diversa, come vedremo subito.
\nLa cosa che dovrebbe subito saltare alla vista \u00e8 che il quinto assioma di Peano, a differenza degli altri, tratta con l’infinito<\/b>. Gli altri assiomi lavorano tutti con un numero o due; anche dire “se esiste il numero un fantastiliardo, allora esiste anche un fantastiliardo e uno” \u00e8 una propriet\u00e0 locale. Col quinto assioma, invece, dobbiamo prendere tutti<\/i> i numeri contemporaneamente. L’immagine che io ho in mente \u00e8 quella di un numero infinito di tessere del domino messe ritte in piedi una vicina all’altra. Forse avete visto quei video in cui ci si limita a dare un colpetto alla prima tessera, che cadendo tocca la seconda che a sua volta cade colpendo la terza… finch\u00e9 tutta la costruzione finisce gi\u00f9 per terra. Ecco, l’induzione \u00e8 esattamente la stessa cosa, solo che le tessere sono infinite. Per la cronaca, esistono due definizioni di induzione: nell’induzione forte<\/b>, invece che solo per n<\/i>, la propriet\u00e0 P deve valere per tutti i numeri inferiori o uguali a n<\/i>, perch\u00e9 valga anche per n+1<\/i>. Ma in realt\u00e0 le due formulazioni sono equivalenti, e si pu\u00f2 scegliere l’una o l’altra a seconda della comodit\u00e0. Inoltre non \u00e8 affatto detto che l’ipotesi induttiva debba partire necessariamente da 0; la propriet\u00e0 pu\u00f2 essere valida da un certo numero k<\/i>, e ovviamente il risultato sar\u00e0 valido per ogni intero maggiore o uguale a k<\/i>. Cos\u00ec, se vogliamo dimostrare per induzione che la somma degli angoli di un poligono convesso di n<\/i> lati \u00e8 pari a n-2<\/i> angoli piatti, partiremo dal triangolo e non certo da un ipotetico poligono con zero lati!
\n[non \u00e8 tutto qua, vai alla seconda parte<\/a>]<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

che cos’\u00e8 l’induzione?<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":3,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":false,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[214],"tags":[],"class_list":["post-7732","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematica_light"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yV-20I","jetpack-related-posts":[{"id":2301,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2003\/05\/05\/la_sentenza_andreottipalermo\/","url_meta":{"origin":7732,"position":0},"title":"la sentenza Andreotti\/Palermo","author":".mau.","date":"2003-05-05","format":false,"excerpt":"Non ho ben capito quale sia tutto il cancan \"\u00e8 colpevole\/non \u00e8 colpevole\" rispetto alla nuova sentenza di appello. 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