Magari non lo sapete, ma se una persona vissuta nel Medioevo o nel Rinascimento fosse portata ai nostri giorni e gli venisse fatta ascoltare una melodia contemporanea, si metterebbe le mani sulle orecchie e la definirebbe assolutamente stonata. No, non \u00e8 colpa della pessima qualit\u00e0 di quello che oggid\u00ec ci propinano come musica (quantunque…); se anche facessimo loro ascoltare un brano dei loro tempi suonato al pianoforte, il risultato sarebbe lo stesso. E non \u00e8 nemmeno colpa del pianoforte! Il problema \u00e8 un altro, e il colpevole – se proprio ne volete trovare uno – \u00e8 la matematica. Ma andiamo con ordine.
\nTutto inizia con Pitagora, il cui marchio di fabbrica – o almeno quello che i suoi seguaci hanno attribuito a lui – era “Tutto \u00e8 numero”. Pitagora scopr\u00ec che se prendevi due corde dello stesso spessore ma di lunghezza l’una il doppio dell’altra il suono emesso quando le si pizzicava era s\u00ec diverso ma non troppo; e se il rapporto tra le lunghezze era di uno a tre c’erano due suoni indubbiamente diversi ma che stavano bene insieme. Che si parli di rapporto e non di differenza, come qualcuno potrebbe pensare, non \u00e8 strano: il nostro orecchio \u00e8 tarato sui rapporti dei suoni. D’altra parte, per i greci che facevano matematica in modo geometrico la cosa non dava alcun problema.
\nIl nostro filosofo (o i suoi discepoli) fu ben felice della cosa, visto che era una conferma della sua legge, e si mise a preparare la scala musicale usando i rapporti di quinta (quello uno a tre) per salire e ottava (uno a due) per scendere, riuscendo cos\u00ec a completare le sette+una nota delle scale modali usate dai greci. Ecco i rapporti che si ottengono, fatto pari a 1 il do basso: anche se anacronistico, aggiungo anche gli intervalli relativi alla nota di base calcolati in milleduecentesimi logaritmici di ottava, i cent<\/i> come oggi sono chiamati. (occhei, dei cent parler\u00f2 pi\u00f9 tardi, non preoccupatevi)
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Intonazione pitagorica<\/b><\/p>\n Intonazione naturale<\/b><\/p>\n\n
\n do<\/td>\n re<\/td>\n mi<\/td>\n fa<\/td>\n sol<\/td>\n la<\/td>\n si<\/td>\n do<\/td>\n<\/tr>\n \n 1<\/td>\n 9\/8<\/td>\n 81\/64<\/td>\n 4\/3<\/td>\n 3\/2<\/td>\n 27\/16<\/td>\n 243\/128<\/td>\n 2<\/td>\n<\/tr>\n \n 0<\/td>\n 204<\/td>\n 408<\/td>\n 498<\/td>\n 702<\/td>\n 906<\/td>\n 1110<\/td>\n 1200<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n
\nQuesta scala (detta intonazione pitagorica<\/i>) \u00e8 bellissima da un punto di vista matematico. Il rapporto tra due toni vicini qualsiasi \u00e8 sempre 9\/8, e quello tra due semitoni \u00e8 sempre 256\/243: peccato per alcuni problemucci. Innanzitutto, per quanto riguarda Pitagora, c’\u00e8 che la frase completa che descrive la sua filosofia \u00e8 “tutto \u00e8 numero piccolo<\/b>. Uno, due, tre, quattro formano la tetraktys<\/i> e sono gli Unici Veri Numeri da usare. Passi se si devono usare 5 e 6, ma 243\/128 \u00e8 proprio bruttino a vedersi! Ma c’\u00e8 anche una fregatura ineliminabile, dello stesso tipo dei problemi irrisolubili dalla matematica classica come la trisezione dell’angolo e la duplicazione del cubo. Il giro delle quinte e delle ottave dovrebbe chiudersi: sali di dodici quinte, scendi di sette ottave, e in teoria ottieni tutti e dodici i semitoni in cui si divide l’ottava. Peccato che 27<\/sup> faccia 128 mentre (3\/2)12<\/sup> \u00e8 un po’ pi\u00f9 di 129.74; \u00e8 un po’ come la barzelletta delle due squadre che iniziano a bucare una montagna dai lati opposti per fare un tunnel e non si incontrano perch\u00e9 hanno sbagliato la direzione di scavo. Non ci si pu\u00f2 fare molto: i rapporti sono quelli, e tra l’altro la divisione in 12 parti dell’ottava \u00e8 una delle migliori possibili, visto che per migliorarla si deve passare a 41 o 53 parti il che diventa pesantuccio: pensate a un pianoforte con tutti quei tasti!
\nI greci non erano poi cos\u00ec stupidi come si potrebbe pensare, e avevano studiato almeno in teoria altri modi in cui suddividere l’ottava. Peccato che fosse difficile riuscire ad accordare gli strumenti, mentre con l’intonazione pitagorica non c’erano problemi visto che si poteva fare tutto a orecchio. Cos\u00ec si \u00e8 dovuto aspettare il Rinascimento perch\u00e9 questi metodi diversi venissero messi in pratica… anche perch\u00e9 con le nuove sensibilit\u00e0 musicali se ne sentiva la necessit\u00e0. Il problema non era l’aggiungere gli altri semitoni, cosa che \u00e8 stata fatta nel medioevo continuando a lavorare per quinte e ottave; s\u00ec, il “semitono in su” e il “semitono in gi\u00f9” sono diversi, ma per il tipo di musica che si suonava non si poteva mai fare confusione. Il guaio era che nella polifonia si usavano terze e seste per dare un po’ di spessore in pi\u00f9 al suono – lo si fa anche adesso, che credete? – e con l’intonazione pitagorica terze e seste cantate insieme suonavano da cani. Fu cos\u00ec che Gioseffo Zarlino nel suo testo del 1558 Le istitutioni harmoniche<\/i> present\u00f2 un “nuovo” metodo per l’accordatura; nuovo si fa per dire, perch\u00e9 era stato inizialmente teorizzato da Archita nel IV secolo a.C. e ripreso da Didimo nel I secolo a.C. e Claudio Tolomeo nel I secolo d.C.
\nIl metodo di Zarlino ritornava alle origini, cio\u00e8 agli armonici. Data una nota di partenza (il do1<\/sub>, ad esempio), il secondo armonico \u00e8 all’ottava superiore (do2<\/sub>); il terzo sale ancora di una quinta (sol2<\/sub>), il quarto di una quarta (do3<\/sub>) e il quinto… di una terza, arrivando al mi3<\/sub>. Se abbassiamo questa nota di due ottave otteniamo per la terza maggiore un rapporto di 5\/4 con la nota fondamentale. A questo punto si pu\u00f2 scegliere se definire direttamente la terza minore<\/i> con il rapporto 6\/5, che ha la simpatica propriet\u00e0 di essere un numero della forma n+1<\/i>\/n<\/i> esattamente come la terza maggiore, la quarta e la quinta; oppure si pu\u00f2 procedere di nuovo per quinte e ottave. Il risultato \u00e8 comunque lo stesso, ed \u00e8 mostrato qua.
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\n do<\/td>\n re<\/td>\n mi<\/td>\n fa<\/td>\n sol<\/td>\n la<\/td>\n si<\/td>\n do<\/td>\n<\/tr>\n \n 1<\/td>\n 9\/8<\/td>\n 5\/4<\/td>\n 4\/3<\/td>\n 3\/2<\/td>\n 5\/3<\/td>\n 15\/8<\/td>\n 2<\/td>\n<\/tr>\n \n 0<\/td>\n 204<\/td>\n 386<\/td>\n 498<\/td>\n 702<\/td>\n 884<\/td>\n 1088<\/td>\n 1200<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n