{"id":7511,"date":"2009-11-11T07:00:00","date_gmt":"2009-11-11T07:00:00","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2009\/11\/11\/dimostrazioni_m\/"},"modified":"2009-11-11T07:00:00","modified_gmt":"2009-11-11T07:00:00","slug":"dimostrazioni_m","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2009\/11\/11\/dimostrazioni_m\/","title":{"rendered":"Dimostrazioni matematiche al calcolatore"},"content":{"rendered":"

Qualche giorno fa Maxxfi mi ha chiesto cosa ne pensassi delle dimostrazioni matematiche fatte per mezzo del calcolatore. La mia laconica risposta \u00e8 stata “brutte, ma valide”; provo ad aggiungere qualche considerazione in pi\u00f9.
\nInnanzitutto, bisogna mettersi d’accordo sui termini: cos’\u00e8 una dimostrazione matematica al calcolatore? Lascio immediatamente da parte i programmi di intelligenza artificiale che dimostrano semplici teoremi, magari dandone nuove dimostrazioni, oppure se ne escono con nuovi teoremini non pubblicati in precedenza: quelle sono dimostrazioni del<\/b> computer, e hanno la stessa validit\u00e0 degli esercizi che ci facevano fare nel biennio di matematica (forse un po’ meglio, se il programma \u00e8 fatto bene e gli sono stati implementati correttamente gli algoritmi.
\nEsistono poi “dimostrazioni” che non lo sono affatto: prendiamo ad esempio il test di primalit\u00e0 di Miller-Rabin<\/a>, che permette di verificare molto velocemente se un numero \u00e8 presumibilmente primo. Un non matematico pu\u00f2 pensare che se la probabilit\u00e0 che il numero testato non sia primo sia di 1 su 1010<\/sup> ci si potrebbe anche accontentare, e in effetti molti programmi di crittografia usano questi probabili primi accettando il rischio che primi non siano e quindi si possa fare un attacco al testo crittografato; ma un matematico non potr\u00e0 mai dire “quel numero \u00e8 primo”.
\nResta infine il gruppo di dimostrazioni al computer vere e proprie: quella archetipale \u00e8 per il teorema dei quattro colori<\/a>, che afferma che bastano quattro colori per colorare una qualunque mappa in modo che nessuna coppia di regioni confinanti (per un tratto, i singoli punti non contano) abbia lo stesso colore; ma ad esempio c’\u00e8 stata anche quella della congettura di Keplero<\/a>, che afferma che il miglior impacchettamento di sfere nello spazio tridimensionale \u00e8 quello che faremmo tutti, facendo tanti strati a esagono uno sopra l’altro. Queste dimostrazioni, che gli anglofoni definiscono “computer assisted”<\/a>, hanno una struttura comune. Il teorema \u00e8 stato inizialmente analizzato e azzannato, e si \u00e8 arrivati a dire che il caso generale si pu\u00f2 ricondurre a un numero finito di sottocasi particolari; nel caso del teorema dei quattro colori si parla di 1476 mappe (grossine) distinte, mentre per la congettura di Keplero sono state ritenute necessarie pi\u00f9 di 5000 configurazioni di sfere. In questi casi, il calcolatore serve a verificare che nessuna di queste mappe\/configurazioni invalidi il teorema: un lavoro che in linea puramente teorica si potrebbe fare a mano, ma richiederebbe non so quante centinaia d’anni, e si rischierebbe di fare degli errori (tenetevi a mente questa frasetta).
\nL’atteggiamento dei matematici rispetto a queste dimostrazioni al calcolatore \u00e8 prettamente filosofico. Alcuni non le considerano valide perch\u00e9 affermano che la dimostrazione deve essere comprensibile a un essere umano, e se non ci si pu\u00f2 mettere a verificare tutti i casi allora la dimostrazione in verit\u00e0 non esiste. Altri hanno una preclusione pi\u00f9 di principio: come ci si pu\u00f2 assicurare che l’algoritmo usato sia corretto, e il programma per computer lo implementi correttamente? Altri ancora, credo la maggioranza, non si fanno di questi problemi e prendono il teorema per dimostrato.
\nLa mia visione personale? Come credo abbiate capito, non ho nessun problema ideologico su una dimostrazione assistita dal computer. Per quanto riguarda la correttezza degli algoritmi, si pu\u00f2 ovviare alla cosa implementando indipendentemente pi\u00f9 programmi su pi\u00f9 architetture diverse – in effetti per il teorema dei quattro colori hanno fatto cos\u00ec – e verificando che l’output sia lo stesso. D’altronde, non \u00e8 che le dimostrazioni umane siano scevre da errori: proprio il teorema dei quattro colori era stato “dimostrato” nel 1879 salvo poi accorgersi nel 1890 che la dimostrazione era errata. Insomma, la correttezza degli algoritmi e la correttezza delle dimostrazioni sono in fin dei conti la stessa cosa. Nel caso poi degli algoritmi probabilistici di cui sopra, c’\u00e8 persino chi afferma che se la probabilit\u00e0 che l’algoritmo non ci prenda sia inferiore a quella di un errore hardware della macchina allora si ha la certezza, ma \u00e8 una linea di pensiero che non mi ispira molto, a meno di pensare anche che tutti gli esseri umani possano venire ipnotizzati contemporaneamente ;-)
\nDetto tutto questo, resta il mio giudizio lapidario iniziale: il teorema \u00e8 s\u00ec dimostrato, ma la dimostrazione \u00e8 cos\u00ec brutta che un Vero Matematico se ne fa ben poco, come diceva anche Erdős. Non \u00e8 detto che esista una dimostrazione “bella” di questi teoremi; visto per\u00f2 che questi teoremi non sono fondamentali nel senso di essere alla base di tanta matematica si pu\u00f2 anche decidere di non contarla come dimostrazione dal punto di vista estetico. A voi la scelta!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Un po’ di considerazioni – soprattutto filosofiche – al riguardo.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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