{"id":7153,"date":"2009-06-10T16:07:40","date_gmt":"2009-06-10T16:07:40","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2009\/06\/10\/massimo_comun_d\/"},"modified":"2009-06-10T16:07:40","modified_gmt":"2009-06-10T16:07:40","slug":"massimo_comun_d","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2009\/06\/10\/massimo_comun_d\/","title":{"rendered":"Massimo comun divisore e minimo comune multiplo"},"content":{"rendered":"<p>Non so se le frasette &#8220;massimo comun divisore&#8221; e &#8220;minimo comune multiplo&#8221; facciano ancora venire a qualcuno un brivido di terrore, al pensiero dei conti che ci facevano fare a scuola e magari anche per capire com&#8217;\u00e8 che una di quelle due sigle &#8211; che ricordano pericolosamente 1400 e 1900 scritti in numeri romani &#8211; fosse tutta in maiuscolo e l&#8217;altra tutta in minuscolo, e perch\u00e9 quello maiuscolo fosse il pi\u00f9 piccolo dei due numeri, e non il pi\u00f9 grande. Forse \u00e8 vero che oggi questi concetti sono un po&#8217; meno importanti di un tempo, quando i conti si facevano a mano; ma hanno ancora un certo qual interesse.<br \/>\nPer prima cosa occorre fare un passo indietro e approcciare il tutto da parecchio lontano. I numeri naturali hanno una simpatica propriet\u00e0, niente affatto scontata: quella della <strong>fattorizzazione unica<\/strong>. Un fattore di un numero <i>n<\/i> \u00e8 un numero <i>f<\/i> tale che la divisione <i>n\/f<\/i> non d\u00e0 resto: i numeri primi, forse ricordate, sono quelli maggiori di 1 che hanno come fattori solo s\u00e9 stessi e 1. Se prendiamo un qualsiasi numero, la fattorizzazione unica ci assicura che lo possiamo scrivere in un solo modo come prodotto di numeri primi; per esempio, 1001 = 7\u00b711\u00b713.<br \/>\nIn matematica la fattorizzazione unica \u00e8 importantissima, ed \u00e8 il motivo fondamentale perch\u00e9 si definisce che 1 non \u00e8 un numero primo; piuttosto che aggiungere qui la frasetta &#8220;eccetto che si possono aggiungere tanti fattori uno quanti si vogliono&#8221;, si preferisce aggiungere &#8220;eccetto 1&#8221; nella definizione di numero primo. Come curiosit\u00e0 posso aggiungere che all&#8217;inizio del XIX secolo si pensava di poter dimostrare il teorema di Fermat con alcune tecniche nemmeno troppo difficili matematicamente ma che presupponevano che la fattorizzazione unica valesse anche per numeri &#8220;pi\u00f9 o meno interi&#8221;, quelli della forma <i>n<\/i> + <i>m<\/i> &#8730;(-1); ed \u00e8 stato un brutto colpo acccorgersi che non \u00e8 affatto vero.<br \/>\nMa basta con le divagazioni, e torniamo alla fattorizzazione unica. Abbiamo visto che ogni numero si pu\u00f2 scrivere in modo univoco come prodotto di numeri primi; ma allora se prendiamo due numeri possiamo trovare quali fattori &#8211; e presi quante volte &#8211; hanno in comune. Per esempio, 9009 = 3<sup>2<\/sup>\u00b77\u00b711\u00b713 e 147 = 3\u00b77<sup>2<\/sup> hanno in comune il prodotto 3\u00b77, cio\u00e8 21. Detto in altro modo, posso dividere sia 9009 che 147 per 21 senza ottenere nessun resto, e non c&#8217;\u00e8 nessun numero maggiore con questa propriet\u00e0. Quindi 21 \u00e8 un divisore, comune a entrambi i numeri e massimo; il <strong>Massimo Comun Divisore<\/strong> (MCD), appunto. In maiuscolo, perch\u00e9 immagino che la parola &#8220;massimo&#8221; faccia pensare a qualcosa di grande.<br \/>\nSupponiamo per\u00f2 che ci interessi qualcosa di diverso; possiamo riempire degli scatoloni di libri mettendoli a gruppi di sei oppure a gruppi di otto a seconda di cosa il Comitato Centrale ci comunicher\u00e0, non vogliamo scatoloni mezzi pieni perch\u00e9 non sta bene, e vogliamo evitare di fare troppi scatoloni perch\u00e9 siamo pigri. Ovviamente prendere sei per otto, quarantotto, libri ci permette di riempire in ogni caso gli scatoloni; per\u00f2 si pu\u00f2 fare di meglio limitandoci a 24 libri. Questo 24 \u00e8 il <strong>minimo comune multiplo<\/strong> (mcm) di 6 e 8, appunto. In minuscolo, perch\u00e9 immagino che la parola &#8220;minimo&#8221; faccia pensare a qualcosa di piccolo.<br \/>\nSe ci capita di sommare due frazioni, a denominatore ci conviene usare il minimo comune multiplo dei denominatori, perch\u00e9 ci troveremo con numeri pi\u00f9 piccoli. Ma come si fa a sapere qual \u00e8 il mcm di due numeri? Pi\u00f9 semplice di quanto possa sembrare a prima vista: si moltiplicano tra di loro i due numeri e si divide il risultato per il loro massimo comun divisore. In fin dei conti il MCD indica proprio quali fattori sono in comune tra i due numeri, e quindi \u00e8 inutile contare doppi. E come si fa a sapere qual \u00e8 il massimo comun divisore dei numeri? Beh, quello lo racconto la prossima volta :-)<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>cosa sono MCD e mcm<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_feature_clip_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":3,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[214],"tags":[],"class_list":["post-7153","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematica_light"],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yV-1Rn","jetpack-related-posts":[{"id":7225,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2009\/07\/06\/algoritmi_per_i\/","url_meta":{"origin":7153,"position":0},"title":"Algoritmi per il MCD","author":".mau.","date":"2009-07-06","format":false,"excerpt":"Dai tempi di Euclide non \u00e8 che si sia fatto chiss\u00e0 quale progresso!","rel":"","context":"In &quot;matematica_light&quot;","block_context":{"text":"matematica_light","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/matematica_light\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":7405,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2009\/09\/19\/massimo_con_un\/","url_meta":{"origin":7153,"position":1},"title":"&#8220;massimo con un divisore&#8221;","author":".mau.","date":"2009-09-19","format":false,"excerpt":"In questi giorni molti insegnanti spiegano il massimo comun divisore. 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