{"id":6846,"date":"2009-03-02T08:00:00","date_gmt":"2009-03-02T08:00:00","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2009\/03\/02\/pari_o_dispari\/"},"modified":"2014-03-05T11:05:34","modified_gmt":"2014-03-05T10:05:34","slug":"pari_o_dispari","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2009\/03\/02\/pari_o_dispari\/","title":{"rendered":"pari o dispari?"},"content":{"rendered":"<p>[Questo \u00e8 un vero articolo di matematica light, nel senso che ho eliminato equazioni e dimostrazioni. Chi volesse fare le cose un po&#8217; pi\u00f9 sul serio, pu\u00f2 andare a leggere la versione completa su una <a href=\"http:\/\/rudimathematici.com\/archivio\/122.pdf\">Prestigiosa Rivista Matematica<\/a>]<br \/>\nImmagino che abbiate gi\u00e0 sentito parlare del Triangolo di Tartaglia, magari sotto il nome di Triangolo di Pascal. \u00c8 un triangolo (ma vah?) infinito, che ha in punta e sui due lati tutti 1; gli altri numeri si calcolano sommando i due numeri immediatamente al di sopra. Il triangolo di Tartaglia, come tante strutture matematiche, spunta da tante parti; ad esempio, i coefficienti dello sviluppo binomiale (1+a)<sup><i>n<\/i><\/sup> sono proprio gli elementi della riga n del triangolo di Tartaglia. Ah: la prima riga, quella per intenderci dove si trova solo il numero 1, \u00e8 la &#8220;riga zero&#8221;. I matematici amano partire da zero.<br \/>\nOltre alla formula ricorsiva per ricavare i numeri del triangolo di Tartaglia, ce n&#8217;\u00e8 anche una che permette di calcolare esplicitamente il <i>k<\/i>-simo elemento della <i>n<\/i>-sima riga; esso vale <i>n<\/i>!(<i>k<\/i>!(<i>n<\/i>&#8211;<i>k<\/i>)!), dove l&#8217;esclamativo indica la funzione fattoriale. Ah, il primo elemento, quello per intenderci pi\u00f9 a sinistra, \u00e8 l'&#8221;elemento zero&#8221;. Vi ho gi\u00e0 detto che i matematici amano partire da zero?<br \/>\n<img data-recalc-dims=\"1\" decoding=\"async\" alt=\"il triangolo di Sierpinski\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/files\/sierpinski.PNG\" vspace=\"5\" align=\"left\" border=\"0\" hspace=\"4\" \/>Ma immaginiamo che non ci interessi sapere il valore esatto dei vari elementi del triangolo di Tartaglia, ma solo se sono pari o dispari. Proviamo a disegnare il triangolo mettendo un pixel nero se il numero \u00e8 dispari e uno bianco se \u00e8 pari: il risultato, come vedete, sembra una specie di merletto e ha l&#8217;aspetto di tipo frattale. In effetti la figura limite \u00e8 nota come <a href=\"http:\/\/it.wikipedia.org\/wiki\/Triangolo_di_Sierpinski\">Triangolo di Sierpinski<\/a>: se siete romantici, potete anche vederla <a href=\"http:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2009\/03\/sierpinski_valentine.png\">cos\u00ec<\/a>. Spesso i frattali hanno una descrizione semplice, e anche in questo caso in effetti c&#8217;\u00e8 un modo per trovare rapidamente se un pixel \u00e8 bianco o nero, cio\u00e8 se il numero corrispondente \u00e8 pari o dispari. Guardando la figura, vediamo che ci sono delle righe tutte nere, altre righe quasi tutte bianche, e ancora altre righe un po&#8217; alternate, il che per\u00f2 non ci dice molto; la spannometria \u00e8 utile, ma in questo caso non ci basta.<br \/>\nIl matematico che scopr\u00ec la regola \u00e8 un poco conosciuto francese vissuto nell&#8217;Ottocento: Edouard Lucas. Lucas \u00e8 forse pi\u00f9 noto ai matematici ricreativi che a quelli accademici, anche se il test che permette di annunciare ogni tanto la scoperta di un numero primo enorme \u00e8 stato inventato da lui e poi affinato da Lehmer. Non \u00e8 un caso che il test di primalit\u00e0 valga per i numeri della forma 2<sup><i>n<\/i><\/sup>-1: Lucas era affascinato dai numeri scritti in notazione binaria, e purtroppo per lui era nato con un secolo di anticipo, perch\u00e9 altrimenti sarebbe stato deliziato dagli elaboratori elettronici che in base 2 ci lavorano. Un altro esempio di questa sua infatuazione \u00e8 la creazione del gioco della <a href=\"http:\/\/it.wikipedia.org\/wiki\/Torre_di_Hanoi\" title=\"la Torre di Hanoi su Wikipedia\">Torre di Hanoi<\/a>, nella cui soluzione le potenze di due giocano un ruolo fondamentale.<br \/>\nTorniamo al nostro triangolo, e prendiamo un elemento a caso; quello in posizione <i>k<\/i> nella riga <i>n<\/i>, ricordandoci sempre che si inizia a contare da zero. Scriviamo ora <i>k<\/i> e <i>n<\/i> in formato binario, e mettiamoli uno sotto l&#8217;altro, aggiungendo se necessario degli zeri a sinistra di <i>k<\/i> perch\u00e9 siano della stessa lunghezza. Cerchiamo ora tutti i bit di <i>k<\/i> che hanno valore 1 e vediamo il bit corrispondente di <i>n<\/i>; se per ciascuno di quei bit di <i>k<\/i> anche quello corrispondente di <i>n<\/i> vale 1, allora il nostro elemento sar\u00e0 dispari, altrimenti sar\u00e0 pari. Lo so, detto cos\u00ec \u00e8 incomprensibile; quindi faccio un esempio pratico. Se <i>n<\/i> vale 19, cio\u00e8 10011 in notazione binaria, ci saranno esattamente otto valori di <i>k<\/i> per cui l&#8217;elemento del triangolo sar\u00e0 dispari: quelli della forma x00xx, dove x pu\u00f2 valere 0 oppure 1. Andando a scalare, ci saranno cos\u00ec 10011 in formato binario, cio\u00e8 19; 10010=18, 10001=17, 10000=16, 00011=3, 00010=2, 00001=1, e&#8230; 00000=0. Quest&#8217;ultimo risultato pu\u00f2 sembrare un po&#8217; strano: in fin dei conti non ci sono mica bit di <i>k<\/i> che valgano 1, e quindi si direbbe che l&#8217;ipotesi non valga. Ma i matematici amano parlare delle mirabolanti propriet\u00e0 dell&#8217;insieme vuoto: se ci pensate, questo caso \u00e8 la stessa cosa che dire &#8220;se non faccio, non sbaglio&#8221;. Poi dovreste fidarvi, visto che l&#8217;elemento in posizione zero \u00e8 il primo della riga (vi ho gi\u00e0 detto che i matematici amano partire da zero?) e quello vale sicuramente 1.<br \/>\nVi faccio ancora qualche esempio facile. Le righe 2, 4, 8, 16&#8230; del triangolo, vale a dire la terza, la quinta, la nona&#8230; sono quelle dove gli unici pixel neri sono i due estremi, dove cio\u00e8 <i>k<\/i> = 0 e <i>k<\/i> = <i>n<\/i>; in effetti <i>n<\/i> \u00e8 della forma 1000&#8230;000 e non si pu\u00f2 fare molto. In compenso, le righe appena sopra di esse, cio\u00e8 la 1, 3, 7, 15, &#8230; sono completamente nere, e in effetti se <i>n<\/i> \u00e8 della forma 1111&#8230;111 si pu\u00f2 scegliere un <i>k<\/i> qualsiasi, perch\u00e9 tanto i bit sopra sono tutti a 1. Se ci si pensa un po&#8217; su, si pu\u00f2 capire perch\u00e9 ci siano i triangoli bianchi che man mano si riducono (aiutino: dipende da quanti 1 ci sono a destra nella rappresentazione binaria di k); ma si pu\u00f2 anche lasciar perdere tutto questo e limitarsi ad apprezzare il risultato. Qui si vuole essere light, in fin dei conti!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Un&#8217;interessante propriet\u00e0 del triangolo di Tartaglia<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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