{"id":6736,"date":"2009-01-19T08:00:00","date_gmt":"2009-01-19T08:00:00","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2009\/01\/19\/aritmetica_modu\/"},"modified":"2009-01-19T08:00:00","modified_gmt":"2009-01-19T08:00:00","slug":"aritmetica_modu","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2009\/01\/19\/aritmetica_modu\/","title":{"rendered":"Aritmetica modulare \/ 1"},"content":{"rendered":"

L’aritmetica modulare \u00e8 una di quelle parti della matematica che non sono affatto difficili da comprendere, e anzi vengono usate nella vita di tutti i giorni senza grandi problemi, per\u00f2 non vengono quasi mai insegnate a scuola. Provo cos\u00ec a scrivere qualcosa al riguardo, per la gioia di grandi e piccini.
\nI moduli nella vita di tutti i giorni<\/u>
\nCominciamo subito da un esempio reale – non per me, in effetti, e probabilmente per nessuno in questo decennio; ma dovrebbe essere comunque comprensibile. Se una persona entra in discoteca alle 23 e ci sta cinque ore, quando ne esce? Alle 4 del giorno dopo, pi\u00f9 o meno in grado di intendere e volere. Ma 23+5=28, non 4! Il nostro discotecaro ha anche perso la facolt\u00e0 di contare? Ovviamente no, le 4 sono nella giornata successiva e i conti tornano. Per\u00f2 se stiamo guardando un’orologio digitale che non indica la data, l’operazione 23+5=4 \u00e8 perfettamente corretta. Un matematico direbbe che la somma \u00e8 corretta modulo 24<\/em>; se vogliamo usare concetti pi\u00f9 terra terra possiamo dire che il resto<\/em> della divisione per 24 dell’operazione 23+5 \u00e8 4. Storicamente in effetti l’operazione di modulo \u00e8 nata per utilizzare i resti, e solo in seguito \u00e8 stata assorbita nella teoria dei gruppi, di cui per\u00f2 al momento non parlo.
\nAltri esempi di occorrenze “naturali” dei moduli sono l’orologio analogico con le lancette, che considera i numeri modulo 12, e la trigonometria, dove gli angoli sono calcolati modulo 360 gradi (o 2π radianti… ma di nuovo andiamo fuori strada, soprattutto perch\u00e9 in questo caso non stiamo pi\u00f9 dividento per un numero intero). La prova del nove, anche se a prima vista non ce ne accorgiamo perch\u00e9 non facciamo esplicitamente le divisioni, lavora con i numeri modulo 9; se ci limitiamo a guardare l’ultima cifra, quella pi\u00f9 a destra, nei calcoli stiamo in realt\u00e0 lavorando modulo 10. Infine, se vogliamo fare le cose in grande e guardare attentamente i sistemi di crittografia a chiave pubblica, scopriremo che anche in quel caso si usano i moduli, anche se di numeri parecchio pi\u00f9 grandi.
\nSommiamo, ma non confrontiamo<\/u>
\nSe i numeri modulo 12 sono i resti della divisione per 12 di un numero intero qualunque, \u00e8 chiaro che i possibili valori sono esattamente 12, quelli da 0 a 11. Pi\u00f9 in generale, i numeri modulo k<\/i> vanno da 0 a k<\/i>-1. “Ma nell’orologio non ci sono le ore 0! Sono le 12!”, mi dir\u00e0 qualcuno. La risposta \u00e8 “s\u00ec, ma cosa importa?” In effetti se lavoriamo modulo 12 allora 0 e 12 sono la stessa cosa, visto che la differenza tra di loro \u00e8 12… e dodici diviso dodici d\u00e0 resto zero. Se vogliamo essere pignoli come un Vero Matematico, dobbiamo dire che 0 e 12 sono congrui<\/b> (modulo 12); non arrabbiatevi per\u00f2 troppo se mi scapper\u00e0 qualche “uguale” al posto di “congruo”.
\nAll’atto pratico \u00e8 come se avessimo suddiviso tutti i numeri, positivi e negativi, in dodici classi distinte come gli animali del calendario cinese, e poi per ciascuna classe scegliamo un rappresentante. Convenzionalmente si usano i numeri da 0 a k<\/i>-1 perch\u00e9 semplificano le operazioni, ma non c’\u00e8 nulla di male in certi casi a prendere quelli da 1 a k<\/i>; in altri casi, ad esempio quando si usano i numeri modulo 3, si pu\u00f2 anche scegliere di prendere come rappresentanti 0, 1 e -1 “per ragioni di simmetria”.
\n\"[somma
\nTabella 1:<\/b> somma modulo 12
\nChe ci facciamo con questi numeri? Beh, iniziamo con le quattro operazioni! Per la somma, nella tabella 1 vediamo cosa succede con la somma modulo 12. Sarete d’accordo con me che non \u00e8 che la cosa sia cos\u00ec eccitante: la tabella sembra pi\u00f9 che altro uno di quelle strisce di led dove scorrono le parole. Lo zero si comporta come ci si aspetta da lui; l’unica cosa che potrebbe sembrarci strana \u00e8 che il risultato della somma \u00e8 minore dei due addendi, come in 8+5=1. Ma \u00e8 proprio cos\u00ec? Stiamo dando per scontato che i moduli possano essere ordinati. Ma questo non \u00e8 affatto vero: anche in un orologio, uno pu\u00f2 dire che le cinque sono “dopo” l’una, ma un altro pu\u00f2 ribattere di no, che l’una del pomeriggio sono dopo le cinque del mattino, e non si vede come dargli torto. Potremmo pensare di dire “s\u00ec, ma dalle cinque all’una c’\u00e8 pi\u00f9 distanza che tra l’una e le cinque, e quindi c’\u00e8 un ordine implicito”. Ma \u00e8 meglio lasciar perdere, visto che con questo “ragionamento” 5 \u00e8 maggiore di 1, 9 \u00e8 maggiore di 5, ma 1 \u00e8 maggiore di 9 modulo 12: e questo non sembra troppo bello.
\nLa differenza si calcola esattamente come la somma. Si potrebbe scrivere una tabellina apposta, e lo potrei lasciare come esercizio per il lettore: ma probabilmente non ne vale la pena, visto che \u00e8 facile usare “alla rovescia” la tabellina per somma scegliendo il sottraendo nella riga in alto, cercando il minuendo all’interno della colonna ad esso corrispondente, e leggendo il risultato sulla colonna a sinistra. Ma c’\u00e8 un altro modo per fare una sottrazione! Possiamo infatti scrivere a-b<\/i> nella forma a+(-b)<\/i>. A prima vista non sembrerebbe esserci chiss\u00e0 quale vantaggio, anzi: ma questo \u00e8 perch\u00e9 siamo abituati ai numeri usuali. Con i moduli, non ci vuole nulla a sostituire un numero negativo con uno positivo! Per esempio, -4 \u00e8 per definizione la stessa cosa che 12-4, cio\u00e8 8; quindi 5-4 \u00e8 pari a 5+8, cio\u00e8 13 e quindi 1. All’atto pratico pu\u00f2 ancora essere utile imparare a fare le differenze, visto che passare da 5-4 a 5+8 in realt\u00e0 ci complica le cose: ma almeno in linea di principio la sottrazione \u00e8 un’operazione inutile, e ci basta una tabellina dell’addizione e una lista dei numeri complementari.
\n\"[opposti
\nListato 1:<\/b> opposti modulo 12
\n(continua)<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Alcune nozioni sull’aritmetica modulare<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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