{"id":6641,"date":"2008-12-16T13:11:38","date_gmt":"2008-12-16T13:11:38","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2008\/12\/16\/terne_pitagoric\/"},"modified":"2008-12-16T13:11:38","modified_gmt":"2008-12-16T13:11:38","slug":"terne_pitagoric","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2008\/12\/16\/terne_pitagoric\/","title":{"rendered":"Terne pitagoriche"},"content":{"rendered":"

\"[unNon so se a voi sia mai capitata la stessa cosa, ma il pensiero che se costruiamo un triangolo di lati 3, 4 e 5 unit\u00e0 tale triangolo \u00e8 rettangolo \u00e8 sempre sembrato qualcosa di magico. Nulla farebbe immaginare a priori una relazione cos\u00ec semplice, e si pu\u00f2 perfettamente capire come per pi\u00f9 di due millenni si sia stati convinti che la geometria euclidea fosse quella “vera”, visto che dava un risultato cos\u00ec bello e semplice. (Nelle geometrie di Lobacevskij e Riemann le cose non sono cos\u00ec semplici, perch\u00e9 c’\u00e8 sempre un fattore correttivo… ma questa \u00e8 un’altra storia). Il teorema di Pitagora \u00e8 stato dimostrato in centinaia di modi diversi, persino da un futuro presidente degli Stati Uniti d’America: Garfield, che per\u00f2 fu assassinato pochi mesi dopo l’elezione il che potrebbe dare ragione a chi pensa che la matematica faccia male. Il triangolo di lati 3, 4 e 5 era per\u00f2 gi\u00e0 noto agli egizi, e forse \u00e8 il primo esempio pratico di geometria noto all’umanit\u00e0.
\nQuasi la stessa magia, almeno per me, \u00e8 stato scoprire che ce n’erano infiniti, di triangoli rettangoli con i lati interi: a parte quelli ovvi di lati multipli della terna (3,4,5) ci sono ad esempio quelli definiti da (5,12,13), (7,24,25), (8,15,17). La cosa \u00e8 abbastanza inverosimile, se si pensa che l’ultimo teorema di Fermat afferma che con i cubi o le potenze di ordine maggiore non si riesce mai ad avere una cosa del genere, a meno di scrivere 0n<\/sup> + 1n<\/sup> = 1n<\/sup>. Da buon matematico, a questo punto, la prima domanda che mi faccio \u00e8 “Ma c’\u00e8 una formula per ricavare tutte le terne pitagoriche<\/i>, come vengono detti i numeri che formano i lati di un triangolo rettangolo?” Per le prime tre terne \u00e8 abbastanza facile ricavare una formula generale che le rappresenti: il cateto pi\u00f9 corto \u00e8 un numero dispari, diciamo 2n+1; il cateto pi\u00f9 lungo \u00e8 n(2n+1)+n; l’ipotenusa \u00e8 uno in pi\u00f9 del cateto piu lungo. Ma il quarto triangolo \u00e8 fuori da questo schema, e ci vuole una formula diversa; e chiss\u00e0 quanti altri triangoli “sostanzialmente diversi” ci sono!
\nA dire il vero, esiste una formula che permette di ottenere tutte le terne pitagoriche, e tale formula \u00e8 nota da secoli, e sapevo dell’esistenza di tale formula. Quello che non sapevo \u00e8 che per ricavarla non occorre affatto chiss\u00e0 quale abilit\u00e0 matematica; se uno sa qual \u00e8 il trucco giusto, ci arriva con le conoscenze della terza media. Rubo cos\u00ec la dimostrazione da Algebra ricreativa<\/em> di Yakov Perelman (libro che consiglio<\/a>, tra l’altro), sperando che vi possa interessare.
\nIniziamo a dire che a noi interessa trovare le terne pitagoriche “base”, cio\u00e8 di numeri senza alcun fattor comune: a partire da quelle non ci sono problemi a moltiplicare i tre valori per un qualsiasi intero e ottenerne un’altra. Questo significa che se (a,b,c) \u00e8 la nostra terna, dove a e b sono i cateti e c l’ipotenusa, allora possiamo assumere che i tre numeri non sono tutti pari. Limitandoci ad a e b, non possono essere entrambi pari, visto che in questo caso lo sarebbe anche c; ma non possono nemmeno essere entrambi dispari. Se infatti a=2h+1 e b=2k+1, allora c2<\/sup> = a2<\/sup>+b2<\/sup> = 4(h2<\/sup> + k2<\/sup> + hk) + 2. Peccato che questo valore non sia multiplo di 4, mentre il quadrato di un numero pari lo \u00e8. Insomma, in una terna pitagorica base ipotenusa e un cateto sono dispari, mentre l’altro cateto \u00e8 pari: per fissare le idee, supponiamo che quest’ultimo cateto sia b.
\nAdesso arriva il colpo di genio. Invece che scrivere a2<\/sup> + b2<\/sup> = c2<\/sup>, scriviamo a2<\/sup> = c2<\/sup> – b2<\/sup> = (c+b)(c-b). I due numeri c+b e c-b sono necessariamente primi tra loro! Se infatti avessero un fattore comune k, questo sarebbe un fattore comune alla loro somma 2c, alla loro differenza 2b e al loro prodotto a2<\/sup>. Per\u00f2 k non pu\u00f2 essere multiplo di 2 (ricordo che a \u00e8 dispari) e non pu\u00f2 essere nessun altro valore, perch\u00e9 altrimenti potremmo dividere a, b e c per k contro l’ipotesi di avere una terna pitagorica base.
\nMa se (c+b)(c-b) \u00e8 un quadrato e (c+b) e (c-b) sono dispari e primi tra loro, devono essere entrambi dei quadrati di numeri dispari. Diciamo che (c+b)=m2<\/sup> e (c-b)=n2<\/sup>. Risolvendo per b, c ed a otteniamo
\na = mn
\nb = (m2<\/sup> – n2<\/sup>)\/2
\nc = (m2<\/sup> + n2<\/sup>)\/2
\nFine del nostro lavoro. Ciascuna terna cos\u00ec ottenuta \u00e8 pitagorica; e scegliendo a nostro piacere i valori di m ed n (purch\u00e9 entrambi dispari, primi tra loro e con m>n) possiamo ottenere tutte le terne pitagoriche base. Per la cronaca, la mia formula iniziale si ottiene da quella generica quando n=1.
\nUn’ultima cosa. Dopo questa bella dimostrazione, Perelman afferma – senza provarlo – che nelle terne pitagoriche c’\u00e8 sempre un cateto multiplo di 3, uno multiplo di 4, e un lato (cateto o ipotenusa) multiplo di 5. Le dimostrazioni non sono difficili: almeno io le ho fatte a mente mentre sollevavo pesi in palestra, il che la dice lunga su quanto mi alleni con scrupolo e coscienza. Se qualcuno di voi vuole cimentarsi per conto proprio, ha una settimana di tempo prima che posti le dimostrazioni relative: non rovini per\u00f2 la vita agli altri scrivendo la soluzione, ma al limite metta un aiutino. Posso solo dire che anche in questo caso le conoscenze necessarie non superano quelle della scuola media, e che un liceale dovrebbe farcela a trovarle. Buon divertimento :-)<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Trovare una formula per tutti i triangoli rettangoli con cateti e ipotenusa interi non \u00e8 cos\u00ec difficile!<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":3,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":false,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[214],"tags":[],"class_list":["post-6641","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematica_light"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yV-1J7","jetpack-related-posts":[{"id":34864,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2025\/12\/24\/un-triangolo-3-4-5-che-spunta-dal-nulla\/","url_meta":{"origin":6641,"position":0},"title":"Un triangolo 3-4-5 che spunta dal nulla","author":".mau.","date":"2025-12-24","format":false,"excerpt":"Una curiosit\u00e0 matematica in stile origami","rel":"","context":"In "mate-light-2025"","block_context":{"text":"mate-light-2025","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2025\/"},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/12\/3-4-5.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200,"srcset":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/12\/3-4-5.png?resize=350%2C200&ssl=1 1x, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/12\/3-4-5.png?resize=525%2C300&ssl=1 1.5x, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/12\/3-4-5.png?resize=700%2C400&ssl=1 2x"},"classes":[]},{"id":16088,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2018\/01\/28\/quizzino-della-domenica-triangolo-nel-triangolo\/","url_meta":{"origin":6641,"position":1},"title":"Quizzino della domenica: Triangolo nel triangolo","author":".mau.","date":"2018-01-28","format":false,"excerpt":"Nella figura qui sotto abbiamo un triangolo equilatero al cui interno \u00e8 disegnato un altro triangolo che ha un vertice in comune con quello di partenza e gli altri due nel punto medio di due lati (non entrambi passanti da quel vertice). Qual \u00e8 la sua area relativa a quella\u2026","rel":"","context":"In "giochi"","block_context":{"text":"giochi","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/giochi\/"},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2018\/01\/q298a.png?resize=350%2C200","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":6003,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2008\/05\/06\/triangolo_trire\/","url_meta":{"origin":6641,"position":2},"title":"Triangolo trirettangolo","author":".mau.","date":"2008-05-06","format":false,"excerpt":"Le idee scalfariane di geometria sono moooolto variabili!","rel":"","context":"In "povera_matematica"","block_context":{"text":"povera_matematica","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/povera_matematica\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":19915,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2020\/02\/02\/quizzino-della-domenica-qual-e-larea-del-triangolo\/","url_meta":{"origin":6641,"position":3},"title":"Quizzino della domenica: qual \u00e8 l’area del triangolo?","author":".mau.","date":"2020-02-02","format":false,"excerpt":"Nel triangolo (non in scala) ABC qui in figura \u00e8 stato preso un punto O da cui sono state disegnate le parallele ai lati. L'area dei tre triangoli colorati \u00e8 4, 9, 49 rispettivamente - ve l'avevo detto che non era in scala! Qual \u00e8 l'area del triangolo ABC? (un\u2026","rel":"","context":"In "giochi"","block_context":{"text":"giochi","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/giochi\/"},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2020\/02\/q427a.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":15875,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2017\/11\/26\/quizzino-della-domenica-triangolo-isoscele\/","url_meta":{"origin":6641,"position":4},"title":"Quizzino della domenica: triangolo isoscele","author":".mau.","date":"2017-11-26","format":false,"excerpt":"Immaginate un triangolo isoscele, come quello in figura qui sotto, i cui lati uguali sono fissati. Variando l'angolo tra questi lati, l'area del triangolo parte da zero (quando l'angolo \u00e8 nullo), cresce al crescere dell'angolo, poi decresce fino a tornare a zero (quando l'angolo \u00e8 piatto). Per quale valore dell'angolo\u2026","rel":"","context":"In "giochi"","block_context":{"text":"giochi","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/giochi\/"},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2017\/11\/q284a-1.png?resize=350%2C200","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":32298,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2025\/04\/30\/il-teorema-di-tolomeo-senza-parole\/","url_meta":{"origin":6641,"position":5},"title":"Il teorema di Tolomeo senza parole","author":".mau.","date":"2025-04-30","format":false,"excerpt":"Un risultato non molto noto, e una dimostrazione relativamente semplice.","rel":"","context":"In "mate-light-2025"","block_context":{"text":"mate-light-2025","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2025\/"},"img":{"alt_text":"dimostrazione del teorema","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/04\/tolomeo2.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200,"srcset":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/04\/tolomeo2.png?resize=350%2C200&ssl=1 1x, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/04\/tolomeo2.png?resize=525%2C300&ssl=1 1.5x, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/04\/tolomeo2.png?resize=700%2C400&ssl=1 2x"},"classes":[]}],"jetpack_likes_enabled":true,"jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/6641","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=6641"}],"version-history":[{"count":0,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/6641\/revisions"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=6641"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=6641"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=6641"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}