{"id":6430,"date":"2008-10-11T07:00:00","date_gmt":"2008-10-11T07:00:00","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2008\/10\/11\/medie_paradossa\/"},"modified":"2008-10-11T07:00:00","modified_gmt":"2008-10-11T07:00:00","slug":"medie_paradossa","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2008\/10\/11\/medie_paradossa\/","title":{"rendered":"Medie paradossali"},"content":{"rendered":"

La media aritmetica, di cui ho gi\u00e0 parlato in passato, sembra in fin dei conti una cosa piuttosto tranquilla. S\u00ec, \u00e8 vero che non \u00e8 sempre proprio il numero migliore per rappresentare schematicamente e con poca spesa un insieme di elementi: una famiglia con 1,6 figli, ad esempio, non la vediamo certo in giro. Per\u00f2 possiamo immaginare che la media aritmetica sia per cos\u00ec dire un numero “stabile”, visto che in un certo qual modo tempera gli eccessi dei singoli elementi. Ma non sempre \u00e8 cos\u00ec! Eccovi tre paradossi, che vanno contro quello che ci aspetteremmo da una funzione per cos\u00ec dire civile.
\n1. Non \u00e8 detto che si possa sempre trovare una velocit\u00e0 media<\/b>
\nSappiamo che calcolare la velocit\u00e0 istantanea<\/em> a cui ci stiamo muovendo non \u00e8 in realt\u00e0 possibile, visto che per trovarla dobbiamo dividere lo spazio percorso per il tempo impiegato, e otterremmo un’espressione 0\/0. Insomma, Newton e Leibniz, quando hanno inventato il calcolo differenziale, hanno ben avuto dei problemi, no? Quello che facciamo in pratica \u00e8 calcolare la distanza percorsa in un’intervallo di tempo molto piccolo, calcolare la velocit\u00e0 media in quell’intervallo, e sperare che intanto la velocit\u00e0 sia rimasta costante. Ma anche se la velocit\u00e0 cambia nel tempo, possiamo immaginare che, se ad esempio la velocit\u00e0 media durante un percorso \u00e8 di 100 Km\/h, possiamo trovare un intervallo di un’ora – anche se a priori non si sa a che istante farlo iniziare – in cui si siano percorsi esattamente 100 chilometri. Ovvio, no? Basta fare un grafico spazio-tempo, costruire una finestrella equivalente a un’ora, e spostarla man mano. Scommetto che ci deve anche essere un teorema che si studia in analisi matematica!
\n\"[unPeccato che non sia per nulla vero. Supponiamo di fare un percorso di 250 km in due ore e mezzo, quindi a una media di cento all’ora, alla velocit\u00e0 indicata nella figura qui a fianco: nella prima, terza e quinta mezz’ora andiamo a 92 Km\/h, e nella seconda e quarta a 112 Km\/h. Prendiamo adesso un qualunque istante iniziale; nell’ora successiva avremo fatto esattamente trenta minuti alla velocit\u00e0 maggiore e gli altri 30 a quella minore, percorrendo dunque 102 chilometri. Ma avremmo potuto anche fare diversamente: se i vari tratti fossero stati percorsi rispettivamente a 88 e 108 Km\/h, in un qualunque tratto di un’ora la distanza totale percorsa \u00e8 di 98 chilometri. D’accordo, gli esempi numerici che ho fatto sono impossibili da ottenersi in pratica, ma non \u00e8 difficile modificarli per ottenere lo stesso risultato con una tabella di marcia verosimile: non l’ho fatto perch\u00e9 non vale la pena di complicare i conti da fare.
\nDov’\u00e8 il trucco? Il trucco \u00e8 che non c’\u00e8 nessun trucco! Se avessi scelto come unit\u00e0 di misura un sottomultiplo esatto del tempo totale percorso (nel nostro caso mezz’ora, oppure 50 minuti) il ragionamento fatto sopra sarebbe stato corretto. Se dividiamo esattamente il percorso in tante parti, o tutte le parti hanno la stessa velocit\u00e0 media oppure ci sono due parti vicine, una con velocit\u00e0 media inferiore e una superiore alla media globale, e in questo caso il ragionamento ella finestrella funziona. Nel nostro caso non possiamo dividere il percorso in questo modo, quindi il ragionamento non regge.
\n2. Anche se due medie parziali crescono, la media delle medie decresce<\/b>
\nUno potrebbe immaginare che la media di due medie sia in un certo senso coerente: se le medie parziali crescono nel tempo, anche quella globale deve crescere. Peccato che nemmeno in questo caso l’affermazione sia vera! In letteratura, il fatto \u00e8 noto come Paradosso di Simpson<\/em>: la pagina su wikipedia<\/a> fa un esempio numerico del paradosso, esempio che riprendo qua. Supponiamo di avere questa ipotetica situazione:<\/p>\n

\n\n\n\n\n\n
Lavoratori<\/th>\nsenza diploma <\/th>\ncon diploma <\/th>\nTotale<\/th>\n<\/tr>\n
Giovani<\/th>\n20<\/td>\n80<\/td>\n100<\/td>\n<\/tr>\n
Anziani<\/th>\n120<\/td>\n30<\/td>\n150<\/td>\n<\/tr>\n
Totale<\/th>\n140<\/td>\n110<\/td>\n250<\/td>\n<\/tr>\n<\/table>\n<\/div>\n

e la statistica seguente su quanti di questi lavoratori siano disoccupati:<\/p>\n

\n\n\n\n\n\n
Tasso disoccupaz. <\/th>\nsenza diploma<\/th>\ncon diploma<\/th>\n<\/tr>\n
Giovani<\/th>\n30%<\/td>\n15%<\/td>\n<\/tr>\n
Anziani<\/th>\n5%<\/td>\n3,33%<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n

Come si vede, sia tra i giovani che tra gli anziani il maggior numero di disoccupati si ha tra chi non \u00e8 diplomato. Se per\u00f2 si calcola il numero esatto di lavoratori disoccupati a partire dalle percentuali, e si ricava qual \u00e8 la percentuale complessiva di disoccupati, senza considerare le et\u00e0. Come si pu\u00f2 vedere, in realt\u00e0 i disoccupati diplomati sono percentualmente di pi\u00f9 di quelli non diplomati!<\/p>\n

\n\n\n\n\n\n
% disoccupati<\/th>\n<\/th>\n<\/tr>\n
senza diploma <\/th>\n12\/140 = 8,6%<\/td>\n<\/tr>\n
con diploma <\/th>\n13\/110 = 11,8%<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n

Di nuovo, non c’\u00e8 trucco e non c’\u00e8 inganno. I numeri sono proprio quelli, e di qui non si scappa. Quello che succede \u00e8 che c’\u00e8 una correlazione implicita tra i dati, nel senso che ci sono molti pi\u00f9 disoccupati giovani che anziani, e molti pi\u00f9 diplomati giovani che anziani. La media normalizza, e quindi non ci fa pi\u00f9 vedere questa differenza nei valori assoluti; differenza che per\u00f2 c’\u00e8, come si vede nella tabella dei valori assoluti qui sotto, e che porta appunto al risultato apparentemente paradossale.<\/p>\n

\n\n\n\n\n\n\n
Disoccupati <\/th>\nsenza diploma<\/th>\ncon diploma<\/th>\nTotale<\/th>\n<\/tr>\n
Giovani <\/th>\n6<\/td>\n12<\/td>\n18<\/td>\n<\/tr>\n
Anziani <\/th>\n6<\/td>\n1<\/td>\n7<\/td>\n<\/tr>\n
Totale<\/th>\n12<\/td>\n13<\/td>\n25<\/td>\n<\/tr>\n<\/tbody>\n<\/table>\n<\/div>\n

Insomma, prima di trarre conclusioni dai valori delle medie parziali, state sempre attenti a vedere quali sono i dati originali!
\n3. Se A \u00e8 in media meglio di B, e B \u00e8 meglio di C, C pu\u00f2 essere in media meglio di A<\/b>
\n\"[quattroD’accordo: non si pu\u00f2 nemmeno fare la media delle medie. Per\u00f2 almeno la media una propriet\u00e0 transitiva ce l’avr\u00e0 bene, no? Insomma, se in media la scelta A \u00e8 preferibile a B e la B a C, \u00e8 ovvio che A \u00e8 preferibile a C, no? Beh, non proprio. Supponiamo di avere i seguenti quattro dadi qui a fianco. Lanciamo ora i dadi A e B. In media B dar\u00e0 il risultato maggiore in quattro casi su sei: quando esce 5 (tre volte su sei) e quando esce 1 ma con A esce 0 (3\/6 * 2\/6, cio\u00e8 una volta su sei). Se lanciamo i dadi B e C, in media C dar\u00e0 il risultato maggiore in quattro casi su sei: quando esce 6 (due volte su sei) e quando esce 2 ma con B esce 1 (4\/6 * 3\/6, cio\u00e8 due volte su sei). Se lanciamo i dadi C e D, il conto \u00e8 ancora pi\u00f9 facile; C vince se e solo se esce 6, quindi in due casi su sei, e pertanto D vincer\u00e0 in media in quattro casi su sei.
\nRicapitoliamo: B supera A in media 4 volte su 6; C supera B in media 4 volte su 6; D supera C in media 4 volte su 6. Prendiamo ora A e D; \u00e8 immediato che A vince se e solo se esce 4, quindi 4 volte su sei. Oops… non era D che avrebbe dovuto vincere quattro volte su sei? Ecco, appunto. Ve l’avevo detto di stare attenti. Ancora una volta non c’\u00e8 nessun paradosso, in realt\u00e0: semplicemente, quando si hanno pi\u00f9 di due scelte possibili le preferenze non sono transitive. Per la cronaca, ci si pu\u00f2 anche limitare a tre soli dadi, mettendoci su i valori (3 3 5 5 7 7), (2 2 4 4 9 9), (1 1 6 6 8 8). In questo caso, per\u00f2, i conti da fare sono un po’ pi\u00f9 complicati, e quindi ho preferito un esempio non minimale ma pi\u00f9 semplice da vedersi. Un suggerimento: provate a costruire i quattro dadi, e invitare qualche amico a fare una partitina, lasciandogli graziosamente scegliere ogni volta per primo quale dado lanciare…
\n(Il tutto \u00e8 stato ispirato dall’articolo di Philippe Boulanger Il n’y a pas moyen de moyenner!<\/i>, Jeux Math, Dossier Pour La Science, Avr-Jui 2008)<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Tre paradossi che vanno contro l’idea naif di media come funzione “che si comporta bene”.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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