{"id":6283,"date":"2008-08-11T18:46:08","date_gmt":"2008-08-11T18:46:08","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2008\/08\/11\/logaritmi_canta\/"},"modified":"2008-08-11T18:46:08","modified_gmt":"2008-08-11T18:46:08","slug":"logaritmi_canta","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2008\/08\/11\/logaritmi_canta\/","title":{"rendered":"Logaritmi cantati"},"content":{"rendered":"<p>Al giorno d&#8217;oggi i logaritmi sono uno di quegli enti matematici che sembrano nati apposta per spaventare gli studenti, che si chiedono a che diavolo servano quei numeri astrusi. Dire che doverbbero essere ancora felici che una qualunque calcolatrice tascabile da dieci euro ti permette di trovare il logaritmo di un numero schiacciando un tasto, senza dover compulsare le tavole logaritmiche (io ne avevo una: non era cos\u00ec difficile usarla, ma assicuro che era una palla). In effetti i logaritmi, come i regoli calcolatori, erano importanti quando non si avevano a disposizione calcolatrici e computer, ed era necessario fare dei conti complicati: se ci si accontentava di un risultato approssimato lo si poteva ottenere piuttosto facilmente, al costo di leggere un po&#8217; di numeri sulle tavole.<br \/>\nPrima o poi dovr\u00f2 scrivere qualcosa sui logaritmi: per il momento, se proprio non ne sapete nulla, tenete conto che le formule di base sono queste:<br \/>\nlog(a*b) = log(a)+log(b)<br \/>\nlog(a<sup>b<\/sup>) = b*log(a)<br \/>\nIn pratica il logaritmo &#8220;abbassa di complessit\u00e0&#8221; le operazioni, trasformando il prodotto in una somma e l&#8217;elevazione a potenza in un prodotto. Per calcolare ad esempio 3259*3425, posso insomma prendere i logaritmi dei due numeri, sommarli, e cercare l&#8217;antilogaritmo della somma per ottenere (un&#8217;approssimazione del) risultato.<br \/>\n<img data-recalc-dims=\"1\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/files\/intervalli.PNG\" alt=\"[intervalli musicali e rapporti relativi]\" title=\"intervalli musicali e rapporti relativi\" align=\"left\" hspace=\"4\" \/> Storicamente i logaritmi servivano per rendere un po&#8217; pi\u00f9 semplici i contazzi enormi che soprattutto gli astronomi dovevano fare per calcolare le orbite degli astri. Per\u00f2 potrebbero essere usati anche per fare conti a mente&#8230; se non fosse per il fatto che imparare a mente i logaritmi dei principali numeri pu\u00f2 essere piuttosto lungo, e se uno deve avere dietro le tavole dei logaritmi non gli passa pi\u00f9. C&#8217;\u00e8 per\u00f2 un trucchetto che ci facilita la vita, usando&#8230; la musica! Sappiamo tutti infatti che 2<sup>10<\/sup> (1024) \u00e8 pi\u00f9 o meno uguale a 10<sup>3<\/sup> (1000), il che significa che 2<sup>1\/12<\/sup> \u00e8 pi\u00f9 o meno uguale a 10<sup>1\/40<\/sup>. Ma 2<sup>1\/12<\/sup> \u00e8 esattamente il rapporto di frequenza tra due semitoni nel temperamento moderno! Questo significa che per trovare il logaritmo in base dieci di un numero <i>x<\/i>, basta vedere <i>x<\/i> come un rapporto, oppure il prodotto di vari rapporti; calcolare a quanti semitoni corrispondono tali rapporti; se ce n&#8217;\u00e8 pi\u00f9 di uno, sommarli; e dividere infine il risultato per 40. Viceversa, per l&#8217;antilogaritmo in base 10 di <i>y<\/i> (10<sup>y<\/sup>) si moltiplica <i>y<\/i> per 40, si guarda a quanti semitoni corrisponde, e da l\u00ec si ottiene il rapporto voluto. Per quanto possibile, conviene usare i rapporti che &#8220;suonano meglio&#8221; nel vero senso della parola: ottava (rapporto 2, pari a 12 semitoni), quinta (3\/2, pari a 7 semitoni) e quarta (4\/3, 5 semitoni).<br \/>\nUn esempio vale sicuramente pi\u00f9 di mille parole: iniziamo a vedere come calcolare il logaritmo di 3. Scriviamo 3 come 2*(3\/2), quindi 12+7=19 semitoni; dividendo per 40 (prima per 10 e poi due volte per 2) otteniamo 0,475 contro il valore corretto 0,47712 circa. Se volessimo calcolare il numero di risultati possibile al totocalcio, cio\u00e8 3<sup>13<\/sup>, avremo 13*19 semitoni, cio\u00e8 247 semitoni totali. (Qui c&#8217;\u00e8 un altro trucchettino matematico: 13*19 = (16*16)-(3*3), e chi ama fare conti a mente sa a memoria che 16 al quadrato \u00e8 256). Di questi semitoni, i primi 240 = 40*6 danno un milione, che \u00e8 da moltiplicare per il rapporto corrispondente a 7 semitoni, cio\u00e8 una quinta, cio\u00e8 3\/2. Il valore approssimato \u00e8 pertanto un milione e mezzo, contro il valore esatto di 1594323. Un 6% circa di errore, risultato non disprezzabile.<br \/>\nL&#8217;unico intero da 1 a 10 difficile da approssimare con gli intervalli musicali \u00e8 7, per cui si pu\u00f2 prendere circa 34 semitoni, come si pu\u00f2 vedere dalla tabella riportata nel sito da cui ho scopiazzat&#8230; ehm, mi sono ispirato: una <a title=\"lezione\" href=\"http:\/\/web.mit.edu\/6.055\/old\/S2008\/handouts\/singing-logarithms.pdf\">lezione (PDF)<\/a> di Sanjoy Mahajan per il suo corso al MIT denominato <em>Street-fighting mathematics<\/em>. La cosa non dovrebbe stupire chi ha studiato musica: in effetti i primi armonici del Do1, cio\u00e8 i multipli interi della frequenza di base, sono Do2, Sol2, Do3, Mi3, Sol3, una nota stonata (il settimo armonico), Do4, Re4, Mi4. Torna tutto, insomma!<br \/>\nOcchei, probabilmente l&#8217;uso pratico di queste tabelline di conversione \u00e8 un po&#8217; improbabile, per\u00f2 sono carine, no?<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Come usare gli intervalli musicali per approssimare i logaritmi<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":3,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":false,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[214],"tags":[],"class_list":["post-6283","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematica_light"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yV-1Dl","jetpack-related-posts":[{"id":19992,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2020\/02\/16\/quizzino-della-domenica-prodotto-di-logaritmi\/","url_meta":{"origin":6283,"position":0},"title":"Quizzino della domenica: prodotto di logaritmi","author":".mau.","date":"2020-02-16","format":false,"excerpt":"Quanto vale il prodotto (log2 3)(log3 4)(log4 5)\u2026(log127 128) dove il pedice indica la base del logaritmo da calcolare? 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