{"id":6269,"date":"2008-08-05T14:49:39","date_gmt":"2008-08-05T14:49:39","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2008\/08\/05\/0999999_1_1\/"},"modified":"2008-08-05T14:49:39","modified_gmt":"2008-08-05T14:49:39","slug":"0999999_1_1","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2008\/08\/05\/0999999_1_1\/","title":{"rendered":"0,999999… ≠ 1"},"content":{"rendered":"

(vi ricordate che tra nemmeno dieci giorni c’\u00e8 il Carnevale della Matematica? siete gi\u00e0 andati da Chartitalia<\/a> a indicargli i vostri contributi?)
\nSe non ve ne siete dimenticati<\/a>, avevo promesso di dimostrare che 0,999999… non \u00e8 uguale a 1. Il compito si direbbe improbo: abbiamo visto che i reali sono “tutta la retta dei numeri”, nel senso che con i tagli di Dedekind siamo riusciti ad associare un numero a ogni punto della retta. Si direbbe insomma che, visto che la distanza da 1 dei numeri della successione 0,9, 0,99, 0,999 … si riduce sempre di pi\u00f9 ed \u00e8 pi\u00f9 piccola di un qualunque numero positivo, non c’\u00e8 pi\u00f9 spazio a disposizione per trovare un altro numero limite – un altro punto sulla retta – diverso da 1. E invece no! O almeno, “non necessariamente”. Quando in matematica si dice che due pi\u00f9 due fa sempre quattro, ci si dimentica sempre di aggiungere “con le usuali definizioni di due, quattro e pi\u00f9”; se consideriamo i resti della divisione per tre (il gruppo Z3<\/sub>, per i pignoli) 2+2 in effetti fa 1 :-) Questo capita soprattutto quando le definizioni sono talmente abituali da essere prese per implicite: ed \u00e8 per questo che nella puntata precedente ho scritto esplicitamente alcune cose di cui in genere non si sente parlare, tipo la propriet\u00e0 di Archimede (che avevo chiamato Principio, ma forse \u00e8 meglio passare al termine corretto).
\nInfinitesimi<\/b>
\nFacciamo un passo (storico) indietro e prendiamo qualcosa che magari \u00e8 rimasto in testa a chi ha fatto lo scientifico: gli infinitesimi. Quando Leibniz e Newton idearono indipendentemente il calcolo infinitesimale dalle due parti della Manica, tirarono entrambi fuori queste simpatiche quantit\u00e0 che erano diverse da zero fintantoch\u00e9 ci fosse necessit\u00e0 di dividere per esse, ma una volta fatte fuori dai denominatori diventavano immediatamente nulle; come del resto il loro quadrato era zero senza s\u00e9 e senza ma. Quantit\u00e0 davvero curiose, se ci si pensa un attimo; tanto che il vescovo e filosofo George Berkeley – s\u00ec, quello che d\u00e0 il nome all’universit\u00e0 californiana – si prese il gusto di irridere chi operava con le flussioni, dicendo \u00abE cosa sono queste flussioni? le velocit\u00e0 di incrementi evanescenti? Non sono n\u00e9 quantit\u00e0 finite, n\u00e9 quantit\u00e0 infinitamente piccole, ma nemmeno un nulla. Non potremmo chiamarle fantasmi di quantit\u00e0 defunte?\u00bb I matematici alzavano le spalle e dicevano che saranno anche state fantasmi di quantit\u00e0 defunte, ma facevano tornare i conti, e questo bastava loro. Ma sotto sotto sapevano che Berkeley aveva ragione, ed erano un po’ a disagio con gli infinitesimi. Cos\u00ec, quando a fine Ottocento Karl Weierstrass tir\u00f2 fuori tutta quell’astrusa definizione di limite con gli epsilon e i delta, furono in molti a tirare un sospiro di sollievo e buttare via gli infinitesimi, pensando “ora non ci sono problemi”. Al limite, il problema restava a chi doveva ricordarsi a memoria la definizione e non scambiare gli epsilon e i delta… ma quelle sono quisquilie.
\nTutto and\u00f2 avanti senza troppi scossoni fino al 1961, quando un matematico di nome Abraham Robinson decise di vedere se poi in fin dei conti gli infinitesimi non potessero avere cittadinanza a pieno titolo tra i numeri. In fin dei conti se abbiamo accettato robaccia tipo i numei immaginari e i quaternioni, non si potrebbe forse trovare una via d’uscita? E in effeti una via d’uscita c’era, ed era data nientemeno che da un teorema di Kurt G\u00f6del. Attenzione: non \u00e8 un caso che abbia scritto “un” teorema. Non si tratta qua del classico teorema di indecidibilit\u00e0, quello di cui tutti ne parlano e nessuno sa mai cosa dica esattamente, ma del teorema di completezza<\/i>, che dice “un insieme di proposizioni \u00e8 coerente se e solo se esso ha un modello, cio\u00e8 se e solo se esiste un universo in cui esse sono tutte vere”. Ammetto che il teorema, scritto in questo modo, \u00e8 ben poco comprensibile, anche perch\u00e9 non si sa bene che cosa sia un universo n\u00e9 un modello; diciamo che un universo \u00e8 un insieme di enti e di operazioni, e un modello \u00e8 un modo di vedere l’universo in pratica. No, non \u00e8 cos\u00ec<\/i> complicato. Ad esempio, un universo sono i numeri reali, con le operazioni di somma e prodotto e la relazione “<“; e un modello per i numeri reali \u00e8 la nostra simpatica retta dei numeri che abbiamo visto l’altra volta.
\nNumeri iperreali<\/b>
\nEsiste un corollario del teorema di completezza, chiamato teorema di compattezza<\/i>, ci dice che se abbiamo un universo “standard” e un insieme di proposizioni tale che qualunque loro sottoinsieme finito sia vero, allora possiamo costruire un altro universo (“non standard”) dove tutte<\/b> le proposizioni sono vere. Vi siete ancora persi? Eccovi un caso pratico. Prendiamo tutte le proposizioni del tipo
\n[1] ε \u00e8 un numero maggiore di 0 e minore di 1\/1
\n[2] ε \u00e8 un numero maggiore di 0 e minore di 1\/2
\n[3] ε \u00e8 un numero maggiore di 0 e minore di 1\/3
\n…
\n[n] ε \u00e8 un numero maggiore di 0 e minore di 1\/n<\/i>
\n…
\nSe prendiamo un numero qualunque di queste proposizioni, possiamo trovare un ε che le renda vere tutte assieme; se prendiamo ad esempio le prime 20, la 30 e la 40, basta scegliere come ε il valore 1\/42. Allora per il teorema di compattezza deve esistere un modello dove tutte queste proposizioni sono vere; in questo modello esister\u00e0 un ε maggiore di 0 ma minore di 1\/n<\/i> per ogni n intero. \"[qualche Questo numero ε \u00e8 chiamato infinitesimo<\/b>, mentre l’insieme dei numeri che troviamo \u00e8 quello dei numeri iperreali<\/b> (da non confondersi coi numeri surreali<\/i>… dovreste saperlo che la fantasia dei matematici \u00e8 sfrenata, quando tocca loro dare il nome a qualcosa!) Il bello di questo modello non standard dei reali \u00e8 che funziona praticamente come i reali “reali”. Il numero iperreale 1 \u00e8 esattamente uguale, per quanto ci riguarda, al numero reale 1; se s<\/i> e p<\/i> sono la somma e il prodotto di due numeri reali a<\/i> e b<\/i>, la somma e il prodotto degli iperreali corrispondenti ad a<\/i> e b<\/i> saranno i corrispondenti di s<\/i> e p<\/i>; e se a<\/i><b<\/i>, questo vale anche per i corrispondenti. Per\u00f2 c’\u00e8 (ovviamente) qualcosa di diverso: ad esempio, i numeri 1 e 1-ε si dicono infinitamente vicini<\/b>, proprio perch\u00e9 la loro differenza \u00e8 un infinitesimo. \u00c8 come se prendessimo la nostra retta dei numeri, una lente di ingrandimento, e scoprissimo che a ogni punto della retta (un numero reale) corrisponde un’infinit\u00e0 di numeri, tutti infinitamente vicini tra loro. E quindi significa che la successione dell’altra volta, quella scritta (1 – 1, 1 – 1\/10, 1 – 1\/100, 1 – 1\/1000, … ), non arriva a 1 come credevamo, ma si ferma a 1-ε. Un numero infinitamente vicino a 1, ma non 1.
\nC’\u00e8 anche un altro approccio pi\u00f9 o meno simile per arrivare ai numeri iperreali; questo approccio parte dai numeri ipernaturali<\/b>, che sono numeri “quasi” naturali, nel senso che dato un numero ipernaturale μ c’\u00e8 sempre un numero precedente μ-1 e un numero seguiente μ+1. L’unica differenza \u00e8 che gli ipernaturali che non sono numeri positivi standard sono tutti infiniti, e quindi non proprio “naturali”. I nostri infinitesimi sono gli inversi dei numeri naturali.
\nDov’\u00e8 il trucco<\/b>
\nDov’\u00e8 il trucco? Beh, se mi avete seguito dovreste averlo capito: nel modello non-standard dei numeri reali perdiamo la propriet\u00e0 di Archimede<\/i>. Per quanto noi ci affanniamo a prendere dei multipli (finiti) di ε, non potremmo mai raggiungere il numero 1, o se per quello un qualunque numero reale positivo: rimarremo sempre ad avere numeri infinitamente vicini a zero, un po’ come se corressimo affannosamente ma rimanessimo sempre inchiodati al nostro posto. \"[un\u00c8 una bella perdita, indubbiamente. Ma non venitemi a dire che questi numeri iperreali sono assolutamente fittizi e non ce li possiamo trovare se non in esempi assolutamente astratti, perch\u00e9 vi zittisco subito con due casi semplicissimi.
\nIl primo \u00e8 l’angolo formato da una circonferenza e dalla sua tangente. Quanti gradi vale? non pu\u00f2 essere di zero gradi, perch\u00e9 un angolo zero \u00e8 fatto da due semirette sovrapposte mentre la tangente e la circonferenza si allontanano; ma non pu\u00f2 nemmeno essere un numero reale maggiore di zero, perch\u00e9 in quel caso la retta sarebbe secante e non tangente alla circonferenza (dall’altro lato, nel caso ve lo chiedeste). Quindi \u00e8 piuttosto naturale affermare che l’angolo \u00e8 un infinitesimo. In effetti i pi\u00f9 matematici tra voi si saranno ricordati che la tangente a una curva \u00e8 il modo geometrico di definire la derivata in un punto; l’analisi non standard \u00e8 appunto nata perch\u00e9 Robinson voleva vedere se si potevano formalizzare le intuizioni di Leibniz sugli infinitesimi che si comportano “come i numeri veri”.
\nIl secondo caso in cui gli infinitesimi compaiono naturalmente riguarda gli ordini di grandezza delle funzioni. Soprattutto gli informatici sanno bene che se un algoritmo richiede 3n<\/i>2<\/sup>+5n<\/i>+7 operazioni nel caso si abbiano n<\/i> valori da cui partire, al crescere di n<\/i> si possono lasciare perdere i termini meno importanti e affermare che il suo costo \u00e8 di O(n<\/i>2<\/sup>) operazioni. Un algoritmo di costo O(n<\/i>2<\/sup>) sar\u00e0 nel caso generale pi\u00f9 “economico” di uno di costo O(n<\/i>3<\/sup>), e uno di costo O(n<\/i>k<\/i><\/sup>) sar\u00e0 sicuramente meglio di uno che esplode esponenzialmente, cio\u00e8 di costo O(e<\/i>n<\/i><\/sup>), per quanto grande sia k<\/i>. Fin qua tutto bene. Prendiamo ora un problema molto comune, quello di mettere in ordine di grandezza crescente una serie di n<\/i> valori: l’algoritmo pi\u00f9 veloce possibile ha un costo che \u00e8 O(n<\/i> log(n<\/i>)) operazioni. Se volessimo dire qual \u00e8 l’esponente di n<\/i> corrispondente, ci troveremmo nei pasticci. \u00c8 sicuramente pi\u00f9 di 1, perch\u00e9 log(n<\/i>) cresce all’infinito. Ma \u00e8 sicuramente meno di 1+ε per ogni ε. Che numero \u00e8, allora? \u00c8 chiaro: uno pi\u00f9 un infinitesimo!
\nUlteriori informazioni<\/b>
\nComplimenti a voi se siete riusciti ad arrivare qui in fondo senza scappare: anche se ho cercato per quanto possibile di evitare qualsiasi dimostrazione, mi rendo conto che l’argomento \u00e8 un po’ ostico, senza poterci lavorare su “in diretta”. Chi si fosse per\u00f2 incuriosito e volesse sapere qualcosa di pi\u00f9 sui numeri iperreali e l’analisi non standard pu\u00f2 leggersi un paio di documenti scritti in italiano: I numeri infinitesimi e l’analisi non standard<\/a><\/em>, del mio vecchio compagno di universit\u00e0 Mauro Di Nasso, e Introduzione all’Analisi Non-Standard<\/a><\/em>, di Riccardo Dossena.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

ve l’avevo promesso… come si pu\u00f2 dire che 0,99999… non \u00e8 in realt\u00e0 1<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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