{"id":6229,"date":"2008-07-23T11:22:26","date_gmt":"2008-07-23T11:22:26","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2008\/07\/23\/0999999_1\/"},"modified":"2008-07-23T11:22:26","modified_gmt":"2008-07-23T11:22:26","slug":"0999999_1","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2008\/07\/23\/0999999_1\/","title":{"rendered":"0,999999… = 1"},"content":{"rendered":"

(questo mi sa che sia venuto troppo complicato. Ragione di pi\u00f9 per chiedere commenti, in modo che possa capire come semplificarlo!)
\nTra le domande che mi vengono fatte “visto che tu sei matematico”, ce n’\u00e8 una che mi arriva abbastanza spesso; non sono mai riuscito a capire perch\u00e9 mai la gente la trovi cos\u00ec interessante. La domanda, come avrete intuito dal titolo, \u00e8 “Ma \u00e8 proprio vero che 0,999999… con tutti 9 fino all’infinito \u00e8 uguale a 1”? Non so in effetti quale sia la molla che scatta a chi me lo chiede: forse c’\u00e8 il concetto dell’infinito potenziale che non si pu\u00f2 mai raggiungere, forse echi nascosti del paradosso di Achille e della Tartaruga, forse i giochettini con la calcolatrice “scrivi 1\/3*3 e vedi che cosa succede…”, o chiss\u00e0 cos’altro. Poi intendiamoci: la domanda \u00e8 perfettamente lecita, visto che la risposta (s\u00ec, per quelli che non hanno voglia di leggere fino in fondo) \u00e8 stata formalizzata in maniera completa solo da 150 anni; addirittura, se si vuole essere alternativi a tutti i costi, si potrebbe anche dire che la risposta \u00e8 “no”: ma quello sar\u00e0 l’argomento di un’altra mia notiziola.
\nSe ci si fida delle formulette pratiche, basta usare quella che si studiava alle medie ai miei tempi, e che vi presento qua nella sua versione pi\u00f9 semplice, quella per convertire in frazione un numero della forma 0,abc...lmabc...lm...<\/tt>, cio\u00e8 compreso tra 0 e 1, e con il periodo formato dalle cifre abc…lm. Se la lunghezza di questo periodo \u00e8 di k cifre, basta avere una frazione che a numeratore abbia il periodo e a denominatore un numero formato ripetendo k volte la cifra 9. Come esempio pratico, 0,142857142857142… \u00e8 uguale a 142857\/999999, cio\u00e8 a 1\/7. E 0,999999…? Il periodo \u00e8 di una sola cifra, la regoletta mi dice di fare 9\/9, cio\u00e8 1. Ma magari uno della formuletta non si fida, e vuole andare pi\u00f9 a fondo nella questione.
\nUn po’ di storia<\/b>
\nComincio allora con una provocazione. Innanzitutto, ha senso parlare di 0,999999…? Qualcuno \u00e8 capace a misurare 0,999999… metri, o sintonizzare una radio a 0,999999… megahertz? Ovviamente no. Ogni misurazione ha una sua precisione e un suo margine di errore. La domanda iniziale, in un certo senso, \u00e8 perci\u00f2 assolutamente inutile. Addirittura i fisici oggigiorno ci dicono che non \u00e8 possibile avere una precisione infinita, per il principio di indeterminazione di Heisenberg: insomma, la domanda \u00e8 del tutto teorica. Ma questo non sarebbe un grave problema, visto che in fin dei conti qui stiamo parlando di matematica e non del mondo reale. Pi\u00f9 interessante \u00e8 un’altra obiezione, quella che fa notare che scrivere un numero con la virgola \u00e8 un concetto piuttosto moderno.
\n Gli arabi introdussero la notazione nel XV secolo, in Europa essa apparve (probabilmente in maniera indipendente) per opera di Simon Stevin nel 1585, ma non si diffuse fino a dopo la rivoluzione francese, quando il sistema metrico decimale le diede la spinta finale. Pensateci su: se io dico 0,1 kilometri si capisce subito di che distanza sto parlando (sono cento metri), ma dire 0,1 miglia (176 iarde, o 528 piedi) significa ben poco, per chi i conti li fa in piedi e iarde! Non \u00e8 un caso che la formuletta mostrata sopra converta un numero periodico in una frazione; per le attivit\u00e0 pratiche, le frazioni sono molto pi\u00f9 semplici da visualizzare, e non \u00e8 un caso che ore e minuti siano divise in sessanta parti e i giorni in 24 ore. Il fatto che un terzo di ora siano 0,3333333…. ore non d\u00e0 fastidio a nessuno, visto che tutti pensano immediatamente a venti minuti e di puntini all’infinito non ce ne sono per nulla. L’ultima cosa su cui sono pi\u00f9 o meno d’accordo tutti \u00e8 che i numeri si possono mettere belli ordinati su una retta, che viene appunto chiamata retta dei numeri<\/b>. Se pensiamo a un metro di quelli da muratore o da sarto, oppure a un termometro analogico cos\u00ec che ci siano anche i numeri negativi, l’idea \u00e8 chiarissima; magari facciamo un po’ fatica a collocare esattamente pi greco, ma la cosa non ci turba pi\u00f9 di tanto perch\u00e9 immaginiamo che sia un poco a destra del 3, e se prendiamo una lente d’ingrandimento lo possiamo collocare in maniera ancora pi\u00f9 precisa.
\nDiamoci un taglio!<\/b>
\nAdesso sappiamo che i numeri con la virgola hanno s\u00ec e no duecento anni di uso pratico. Ma i numeri con infinite cifre dopo la virgola sono ancora pi\u00f9 giovani, in effetti, e sono un prodotto di un complicato sforzo per capire cosa sono esattamente i numeri reali; numeri che venivano allegramente usati da secoli in analisi matematica senza che nessuno fosse poi realmente sicuro di cosa stava facendo. Questa sezione \u00e8 un po’ pi\u00f9 complicata: potete tranquillamente saltarla e passare alla successiva, se vi sentite troppo male.
\nDopo tutti quei secoli di tentativi, alla fine fu Richard Dedekind<\/a> a tirare fuori una soluzione accettata da praticamente tutti i matematici, che permette di definire un numero reale per mezzo dei numeri razionali; per la precisione, da due insiemi di razionali. Il modo che si usa di solito per spiegare come si fanno queste successioni \u00e8 il definire la radice quadrata di due. Si prendono tutti i numeri razionali positivi e li si mettono in due insiemi: quelli il cui quadrato \u00e8 maggiore o uguale a due, e quelli il cui quadrato \u00e8 minore di due. S\u00ec, lo so che non c’\u00e8 un numero razionale il cui quadrato sia due, ma questo non \u00e8 un problema, come vedremo.
\nChiamiamo i due insiemi T+ e T-, e aggiungiamo tutti i razionali negativi e lo zero in T-. A questo punto abbiamo due insiemi – due semirette, se preferiamo guardare la retta dei numeri – tali che:
\n– ogni numero razionale appartiene ad esattamente uno dei due insiemi
\n– tutti i numeri dell’insieme T- sono minori di ciascun numero dell’insieme T+
\nUna suddivisione dei numeri razionali che rispecchi queste due caratteristiche si chiama taglio di Dedekind<\/b>; la ragione del nome \u00e8 chiara, se si pensa alla retta dei numeri e a un coltello molto affilato che la tagli in due parti. Il genio di Dedekind sta nell’avere affermato che i due insiemi sono<\/b> un numero; se preferite essere un po’ pi\u00f9 formali bisognerebbe dire che “rappresentano” un numero, ma un vero matematico non si preoccupa di tali distinguo formali. Un matematico si preoccupa solo che le definizioni siano corrette e coerenti: che cio\u00e8 esistano delle operazioni “somma” e “prodotto” tali che “sommare” e “moltiplicare” due suddivisioni diano una suddivisione che corrisponda alla somma e al prodotto dei due numeri corrispondenti; e che se due numeri sono uguali anche i due insiemi corrispondenti lo siano. Vi risparmio tutta la parte tecnica di verifica di queste cose; l’unica cosa che \u00e8 davvero interessante \u00e8 che a volte capita che l’insieme dei numeri pi\u00f9 piccoli abbia un massimo, a volte capita che l’insieme dei numeri pi\u00f9 grandi abbia un minimo, e altre volte nessuno dei due insiemi ha un limite, come nel caso di T+ e T- che abbiamo visto sopra.
\n Non pu\u00f2 darsi il caso che entrambi gli insiemi abbiano rispettivamente un massimo e un minimo. Infatti questi due valori devono essere distinti, altrimenti il numero apparterrebbe a entrambi gli insiemi; ma a questo punto possiamo prendere la media tra i due valori, che sar\u00e0 un numero che non pu\u00f2 appartenere a nessuno degli insiemi, e ci\u00f2 non \u00e8 possibile.
\nFinalmente ci siamo. I numeri razionali sono tutti e soli quelli per cui nella rappresentazione con i due insiemi uno di essi ha un limite; e quel limite \u00e8<\/b> il nostro buon vecchio numero razionale. Tutto quello che rimane d’altro sono i numeri irrazionali; sappiamo dai tempi di Pitagora che ci sono, e siamo finalmente riusciti a disegnarli sulla retta dei numeri. D’accordo, sto barando un po’ perch\u00e9 dovrei anche dimostrare che in questo modo abbiamo finito tutti i numeri che possiamo trovare sulla nostra retta; posso garantirvi per\u00f2 che il modello di Dedekind ci assicura anche quello, sfruttando il principio di Archimede<\/b>.
\nNo, non \u00e8 quello dell'”eureka” mentre faceva il bagno, ma una propriet\u00e0 che dice che dati due numeri positivi a<\/i> e b<\/i>, \u00e8 sempre possibile trovare un multiplo di a<\/i> che sia maggiore di b<\/i>. Prendiamo ora i due insiemi U-, definito come “tutti i numeri minori di 1” e U+, “tutti i numeri maggiori a 1”. Nell’insieme U- troviamo 0,9, 0,99, 0,999, …. e anche il nostro 0,999999… deve stare l\u00ec, visto che sicuramente non pu\u00f2 essere maggiore di 1. U+ e U- non formano un taglio di Dedekind, perch\u00e9 lasciano fuori 1, ma da qualunque parte noi lo mettiamo otteniamo il nostro bel taglio, che per quanto detto sopra equivale al numero 1. Insomma, ce l’abbiamo fatta! (almeno fino al mio prossimo articolo)
\nRicapitolando<\/b>
\nPerch\u00e9 insomma possiamo dire che 0,999999…=1? Beh, abbiamo sfruttato fondamentalmente due cose. Il principio di Archimede, che possiamo anche esprimere dicendo “se prendiamo abbastanza granelli di sabbia possiamo fare un mucchio grande a piacere”, e che ci dice che se due numeri sono diversi, la loro differenza pu\u00f2 essere ingrandita fino a superare una quantit\u00e0 a piacere; e il “modello standard” della retta dei numeri, che unito al taglio di Dedekind ci dice che se siamo sicuri di non aver lasciato nulla da parte siamo per forza arrivati allo stesso numero. Aggiungo, per chi si fosse perso per strada, che di per s\u00e9 il fatto che esistano dei numeri irrazionali non c’entra nulla con la dimostrazione, anche se ce lo siamo trovati come bonus mentre facevamo i tagli di Dedekind: una conferma insomma della formuletta all’inizio che ci diceva che 0,999999… era in realt\u00e0 una frazione. Per il momento \u00e8 tutto, ma aspettatevi qualcosa di completamente diverso!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Una domanda ricorrente, una risposta forse un po’ troppo complicata<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":3,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":false,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[214],"tags":[],"class_list":["post-6229","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matematica_light"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yV-1Ct","jetpack-related-posts":[{"id":14532,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2017\/03\/02\/altro-che-captcha\/","url_meta":{"origin":6229,"position":0},"title":"Altro che CAPTCHA","author":".mau.","date":"2017-03-02","format":false,"excerpt":"Certo, far rispondere alle domande su un post prima di commentare potrebbe scremare. 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