{"id":6174,"date":"2008-07-02T12:49:23","date_gmt":"2008-07-02T12:49:23","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2008\/07\/02\/il_paradosso_di\/"},"modified":"2008-07-02T12:49:23","modified_gmt":"2008-07-02T12:49:23","slug":"il_paradosso_di","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2008\/07\/02\/il_paradosso_di\/","title":{"rendered":"Il paradosso di Berry"},"content":{"rendered":"

Uno, due, tre, quattro… mille… un milione… un miliardo… un fantastiliardo… Beh, che numero sia esattamente un fantastiliardo non \u00e8 cos\u00ec certo, o perlomeno non saprei citare il numero esatto di Topolino<\/i> in cui \u00e8 stato definito formalmente. Sono capaci ad averlo fatto, s\u00ec. Per\u00f2 direi che siamo tutti d’accordo che ai numeri si pu\u00f2 dare un nome, e che noi siamo abbastanza fortunati da poter dare un nome – in italiano, in inglese, in klingon o nella vostra lingua preferita – a ogni numero. No, ricominciamo da capo. Sicuramente possiamo dare un nome a ogni numero intero<\/b> (o frazionario, o irrazionale algebrico). Dopo Cantor sappiamo infatti che i numeri reali sono “pi\u00f9 infiniti” delle parole che abbiamo a disposizione; quindi se volessimo dare un nome a tutti i numeri reali, e non solo a pi greco o alla radice di due, siamo fregati in partenza: anzi, la percentuale di numeri a cui possiamo dare un nome \u00e8 virtualmente nulla rispetto al totale. Ma questa \u00e8 un’altra storia.
\nLimitiamo pertanto il nostro scopo e torniamo ai numeri interi, dove insomma si direbbe che siamo a posto. Qualunque numero finito uno scriva, lo possiamo leggere, sgolandoci al pi\u00f9 con una sfilza di “miliardi di miliardi di miliardi”, o al limite risparmiando un po’ di voce sfruttando la norma CEE\/CEEA\/CE n.55 del 21\/11\/1994 che definisce che andando di mille in mille si hanno migliaia, milioni, miliardi, bilioni, biliardi, trilioni; poi si sono fermati, lasciando a Wikipedia l’onore di arrivare ai quadriliardi. Lo strano \u00e8 che la norma CEE specifica le unit\u00e0 di misura tra le pieghe di una legge sul trasporto di merci pericolose: ma in effetti, anche solo sui numeri interi di cose strane ne abbiamo lo stesso!
\nPiccola digressione. Un’altra cosa che abbiamo imparato fin da bambini \u00e8 che dato un numero possiamo sempre trovarne un altro dicendo “pi\u00f9 uno!”, come si ricorder\u00e0 chi giocava a dire il numero pi\u00f9 grande. L’osservazione \u00e8 meno stupida di quanto si pensi, come vedremo. Detto in altro modo, un numero lo si pu\u00f2 chiamare in tanti modi: ad esempio, “cento” \u00e8 anche “novantanove pi\u00f9 uno”, oppure “dieci per dieci”, o ancora “il numero di quadratini del quadrato costruito sull’ipotenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti hanno lunghezza rispettivamente sei e otto”. Quanti modi abbiamo a disposizione per definire un numero? Non lo so. Probabilmente infiniti, ma in realt\u00e0 la cosa non \u00e8 che ci importi pi\u00f9 di tanto. Quello che importa \u00e8 per ogni numero abbiamo (almeno) una rappresentazione “economica”, che cio\u00e8 usa il numero minimo possibile di sillabe. A vedere gli esempi qui sopra non si capisce l’utilit\u00e0 di introdurre questi altri modi di chiamare un numero, ma ad esempio novecentonovantanovemila novecentonovantanove (venti sillabe) pu\u00f2 essere espresso come “un milione meno uno” (otto sillabe: un bel risparmio!) Possiamo cos\u00ec decidere di chiamare ciascun numero con l’espressione che richede il minor numero possibile di sillabe: un’ottima idea, se abbiamo bisogno di risparmiare spazio.
\nA questo punto entra in gioco il signor G. G. Berry, che non era esattamente l’ultimo arrivato dato che era bibliotecario alla Bodleiana, una delle pi\u00f9 importanti se non la pi\u00f9 importante biblioteca di Oxford. Il signor Berry, poco pi\u00f9 di cent’anni fa (era il 1904), ebbe l’idea di pensare a un numero che in fin dei conti un suo minimo interesse ce l’aveva: “il pi\u00f9 piccolo numero che non si pu\u00f2 esprimere con meno di trenta sillabe”. Si sa che i bibliotecari, quando si tratta di definire qualcosa, sono sicuramente bravi, no? Per amor di precisione, il testo originale inglese parla di “the least integer not nameable in fewer than nineteen syllables<\/i>” (che in inglese dovrebbe essere 111.777, dice wikipedia<\/a>); e sempre wikipedia afferma che in realt\u00e0<\/a> Berry parlava semplicemente del pi\u00f9 piccolo numero ordinale non definibile. (I numeri ordinali sono quelli che usiamo per contare “uno, due, tre…”. Finch\u00e9 usiamo numeri finiti non c’\u00e8 una differenza pratica con i numeri cardinali che dicono in un botto quanto \u00e8 grande un insieme; con i numeri transfiniti s\u00ec, ma non \u00e8 questo il momento di parlarne)
\nQuesto numero, chiamiamolo b<\/i> in onore di Berry, deve per forza esistere: in fin dei conti i numeri sono infiniti, e le frasi composte al pi\u00f9 di trenta sillabe sono finite. Occhei, sar\u00e0 probabilmente un numero molto grande, ma in linea di principio lo si pu\u00f2 calcolare. Persino un costruttivista come Brouwer, che giusto in quegli anni stava lamentandosi di come l’infinito venisse usato in maniera un po’ troppo disinvolta, non avrebbe avuto nulla da dire sulla correttezza della definizione. Ma era proprio cos\u00ec? Mica tanto. In effetti, se siete stati attenti, la frase “il pi\u00f9 piccolo numero che non si pu\u00f2 esprimere con meno di trenta sillabe” di sillabe ne ha 25. Ma allora non ci pu\u00f2 essere nessun numero con tale propriet\u00e0! Se ci fosse un siffatto numero b<\/i>, infatti, automaticamente gli potremmo affibbiare la descrizione di cui sopra e quindi non \u00e8 vero che non si pu\u00f2 esprimere con meno di trenta sillabe. Ci\u00f2 \u00e8 indubbiamente berrybile.
\nQui c’era qualcosa che non andava: e subito Berry chiese lumi all’indubbio esperto del campo: quel Bertrand Russell che pochi anni prima aveva dato un duro colpo al lavoro di una vita di Frege con il famoso paradosso del barbiere del villaggio che fa la barba solo e unicamente a chi non se la fa da s\u00e9. (per la cronaca, il barbiere si chiavama Andrea ed era una splendida fanciulla…). Russell ci pens\u00f2 un po’ su e alla fine sentenzi\u00f2 che il problema non si poneva: la definizione di b<\/i> non era infatti valida perch\u00e9 era una meta<\/b>definizione, visto che non definiva un numero ma le propriet\u00e0 del numero. Per fare un esempio pi\u00f9 terra terra, se diciamo “tre ha tre lettere” non stiamo parlando del numero<\/b> tre (anzi 3), ma della parola<\/b> che lo definisce: il “lessicale”, mi suggeriscono i miei amici filosofi. Il paradosso gli sembr\u00f2 comunque interessante, tanto che lo inser\u00ec come primo nella lista di sette che present\u00f2 nei Principia Mathematica<\/i>: e chiss\u00e0, magari la teoria dei tipi, l’idea cio\u00e8 che ci fosse una gerarchia di insiemi dove a ciascun livello gli elementi costitutivi potevano essere al pi\u00f9 insiemi dei livelli inferiori, nacque anche pensando a questa differenza tra numero e definizione del numero. Non che tutta quella fatica gli sia servita a qualcosa, visto che venticinque anni dopo Kurt G\u00f6del gli scombin\u00f2 tutta la sua teoria. E paradossalmente, una cinquantina d’anni dopo, Greg Chaitin riprese in mano il paradosso di Berry, lo formalizz\u00f2 usando un linguaggio di programmazione, e riusc\u00ec in questo modo a dare una nuova (e pi\u00f9 semplice) dimostrazione del Teorema di Incompletezza di G\u00f6del. Una vendetta postuma, insomma…
\nChe dire? State sempre attenti, quando vi mettete a contare, perch\u00e9 non si sa mai dove si nascondano le insidie! (Se vi piacciono questi temi, consiglio la lettura anche dei Rudi Matematici<\/a>)<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

attenti a come definite un numero, potreste trovarvi nei guai<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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