{"id":6010,"date":"2008-05-08T08:19:55","date_gmt":"2008-05-08T08:19:55","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2008\/05\/08\/il_teorema_di_p\/"},"modified":"2008-05-08T08:19:55","modified_gmt":"2008-05-08T08:19:55","slug":"il_teorema_di_p","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2008\/05\/08\/il_teorema_di_p\/","title":{"rendered":"Il teorema di Pick"},"content":{"rendered":"

\"[FiguraQuando andavo alle medie, tra le ore di lezione c’erano quelle di “applicazioni tecniche”. Non so se e cosa ci sia ora; alcuni anni dopo la materia era stata rinominata “educazione tecnica” e se non sbaglio maschi e femmine la facevano insieme. Ai miei tempi, invece, c’era ancora una divisione sessista, forse perch\u00e9 si pensava che una donna dovesse fare i “lavori da donna”, ed \u00e8 gi\u00e0 tanto che non fosse ancora chiamata “educazione domestica” come una volta. In queste ore di lezione, tra le varie cose che ci facevano fare mi \u00e8 rimasto impresso nel mio cervello – anche se fortunatamente non nelle mie dita – il mettersi a piantare chiodi su una tavoletta di compensato in un reticolo rettangolare, tendendo poi opportunamente alcuni elastici intorno ad essi per costruire delle figure. Sono cose forse divertenti: credo per\u00f2 che se il professore mi avesse raccontato del teorema di Pick io sarei stato molto pi\u00f9 interessato e mi sarei subito lanciato a cercare di dimostrarlo, perch\u00e9 \u00e8 davvero qualcosa a prima vista incredibile. Non ci sarei magari riuscito, ma volete mettere la soddisfazione di provarci?
\nImmaginiamo di avere un piano cartesiano e di evidenziare al suo interno il reticolo di punti a coordinate intere: o pi\u00f9 banalmente prendiamo un foglio a quadretti. Il teorema di Pick afferma allora che l’area di un qualunque poligono semplice i cui vertici sono punti del reticolo \u00e8 data dalla formula <\/em>
\n[1]<\/b>      I<\/i> + (P<\/i>\/2) – 1
\ndove I<\/i>\"[Figura \u00e8 il numero di punti del reticolo interni al poligono (quelli indicati in blu nella Figura 1<\/b> qui a fianco) e P<\/i> il numero di punti sul suo perimetro: i vertici, indicati in rosso, ma anche i punti indicati in verde che si trovano all’interno dei lati. In questo caso, abbiamo 32 punti blu e 18 tra rossi e verdi, quindi l’area del poligono \u00e8 di 40 quadretti. Come si vede, il poligono non deve necessariamente essere convesso perch\u00e9 valga il teorema di Pick; pi\u00f9 precisamente, la definizione di “poligono semplice” significa infatti che esso non deve avere buchi al suo interno, lati ripetuti o incrociati come negli esempi della Figura 2<\/b> per cui il teorema per l’appunto non vale. Anche con queste restrizioni il teorema ha a prima vista qualcosa di magico, pensando a tutti i possibili lati storti; d’altra parte Georg Alexander Pick, il matematico austriaco che dimostr\u00f2 il teorema nel 1899, oggi non sar\u00e0 molto famoso per\u00f2 \u00e8 stato lui a presentare Gregorio Ricci Curbastro a un certo giovincello (Albert Einstein) che aveva bisogno di un esperto matematico per i conti della teoria della relativit\u00e0. Insomma, Pick non era proprio l’ultimo arrivato.
\nMa bando alle ciance, e vediamo una possibile dimostrazione del teorema: non garantisco sia la pi\u00f9 semplice, soprattutto perch\u00e9 me la sono trovata io e le mie contorsioni mentali sono peculiari, ma dovrebbe essere sufficientemente chiara da poterla seguire senza sbattere la testa contro il muro. Iniziamo con una classe di poligoni molto semplice: i rettangoli \"[Figurai cui lati sono paralleli al reticolo, come quello della Figura 3<\/b>. In questo caso i conti sono alla portata di tutti: basta stare attenti a non sbagliare a contare i puntini, ricordando che se i punti sono a distanza 1, un segmento di lunghezza 10 ne conterra undici! Se i lati del rettangolo sono a<\/em> e b<\/em>, la sua area \u00e8 ab<\/em>. Il perimetro conterr\u00e0 2(a<\/em>+b<\/em>) punti e l’interno ne contiene (a<\/em>-1)(b<\/em>-1), vale a dire ab<\/em>-(a<\/em>+b<\/em>)+1; quindi la formula in questo caso \u00e8 corretta.
\nPassiamo adesso al punto fondamentale della dimostrazione: mi occorre un teorema ausiliario che afferma che se abbiamo due poligoni per cui vale la formula [1]<\/b> e che hanno in comune parte di un lato (almeno due punti), allora anche per il poligono risultante vale la [1]<\/b>. Attenzione: non sto affatto dicendo che la formula sia vera! Per fare un esempio pratico, pensiamo di avere delle confezioni di caramelle con indicato il loro peso, e che ci venga detto che la formula per il costo delle caramelle \u00e8 data dal prodotto di un euro per il numero di etti del loro peso; \u00e8 chiaro che prendendo due confezioni \"[Figurabasta sommare il loro peso in etti e moltiplicarlo per un euro. Ma la stessa cosa varrebbe se il costo fosse di due euro l’etto, o cinquanta centesimi: quindi non possiamo sapere il costo. Peggio ancora, magari ci sono caramelle confezionate in una bella scatola di latta, il cui prezzo \u00e8 un euro l’etto pi\u00f9 un euro per la scatola; se prendiamo una confezione normale e una inscatolata, fare la somma non serve a un tubo. Quest’ultimo esempio, riportato ai nostri poligoni, ci ricorda che per il momento sappiamo solo misurare rettangoli, e gi\u00e0 un triangolo ci darebbe problemi. Ma facciamo un passo per volta.
\nNella Figura 4<\/b>, siano A e B i due poligoni e C quello ottenuto unendoli; il segmento comune sia s. Per A, abbiamo I<\/i>a<\/sub> punti interni e P<\/i>a<\/sub> punti sul perimetro; similmente per B ci saranno I<\/i>b<\/sub> punti interni e P<\/i>b<\/sub> punti sul perimetro. \"[FiguraI punti interni di C saranno quelli interni di A, quelli interni di B e quelli interni di s (nella figura ce n’\u00e8 uno, indicato con un cerchietto blu); quelli perimetrali saranno la somma dei perimetrali di A e di B, togliendo due volte i punti interni di s (nei poligoni separati contavano doppio, in quello unito non ci sono) e una volta i due punti estremi di s (indicati in figura con un cerchietto verde: nei poligoni separati contavano doppio, in quello unito sono singoli). Ma guardando la formula [1]<\/b>, il peso dei punti interni di s tolti dal perimetro \u00e8 esattamente uguale al peso dei punti aggiunti all’interno di C. Abbiamo quindi tolto solo i due punti estremi di C, che contano per una unit\u00e0: proprio quella che dovremmo togliere in pi\u00f9, visto che nella somma di A e B ci sono due addendi che valgono -1 mentre in C ce n’\u00e8 uno solo.
\nPrima di continuare, faccio notare che il teorema ausiliario funziona anche alla rovescia, “in sottrazione”. Se noi siamo certi che per il poligono B \"[Figuravalga la nostra formula, allora possiamo affermare con sicurezza che “se la formula vale per A, allora varr\u00e0 anche per C; viceversa, se vale per C allora varr\u00e0 anche per A”. Questo sar\u00e0 il grimaldello per terminare la dimostrazione.
\nPassiamo ora a dimostrare che il teorema di Pick vale per i triangoli rettangoli con i cateti paralleli al reticolo. Il trucco, come si vede nella Figura 5<\/b>, \u00e8 di metterne insieme due per ottenere un rettangolo. I due triangoli sono assolutamente identici, quindi con le notazioni precedenti possiamo dire che I<\/i>a<\/sub>=I<\/i>b<\/sub> e P<\/i>a<\/sub>=P<\/i>b<\/sub>; \u00e8 questo fatto che ci permette di ricavare la formula, suddividendo come nel caso precedente i punti interni al rettangolo ma che stanno sulla diagonale, e quindi devono essere tolti dal totale degli interni e associati ai perimetri dei due triangoli. Fortunatamente i punti perimetrali valgono solo un mezzo, e quindi la suddivisione \u00e8 perfetta… se non fosse per i due estremi della diagonale del rettangolo, che danno giusto un’unit\u00e0 in pi\u00f9. Nel nostro esempio pratico, abbiamo un triangolo rettangolo di cateti 4 e 12; il rettangolo ha 33 punti interni (di cui 3 sulla diagonale) e 32 punti perimetrali; i due triangoli hanno ciascuno (32\/2)+1=17 punti sui cateti, 3 all’interno della diagonale e (33-3)\/2=15 punti interni. Come potete vedere, i conti tornano perfettamente.
\nSiamo ormai verso la fine. Con il nostro teorema ausiliario applicato al pi\u00f9 tre volte ai triangoli rettangoli esterni nella Figura 6<\/b>, possiamo affermare che il teorema di Pick \u00e8 valido per un qualsiasi triangolo, come quello all’interno della figura stessa. A questo punto possiamo finalmente tornare alla nostra figura iniziale. Potrei tranquillamente dire “visto che ogni poligono semplice \u00e8 triangolabile, basta suddividerlo in un insieme di triangoli, e siamo a posto”. Peccato che io non sia mica cos\u00ec certo che sia banale dimostrare che ogni poligono semplice \u00e8 triangolabile: visto che tanto abbiamo gi\u00e0 fatto un lavorone, tanto vale andare fino in fondo. Il trucco \u00e8 rendere convesso il poligono: si cercano due lati consecutivi che formano un angolo pi\u00f9 grande che piatto e per cui il segmento che unisce gli altri due vertici \u00e8 tutto all’esterno del poligono, e si sostituisce il nuovo segmento ai due originali. In pratica si \u00e8 sommato un triangolo (per cui il teorema vale), e si \u00e8 ottenuta una figura con un numero di vertici inferiore di uno. Prima o poi continuare sar\u00e0 impossibile, e si giunger\u00e0 a un poligono convesso: a questo punto si pu\u00f2 fare lo stesso giochetto della Figura 6 e rettangolare il poligono, riuscendo finalmente ad applicare il teorema in un caso noto: a questo punto, basta tornare indietro passo passo e sappiamo che la cosa vale anche per il poligono iniziale.
\nIl tutto visto scritto cos\u00ec sembra una faticaccia immane, lo ammetto. Ma credo che la cosa pi\u00f9 difficile sia mettere in forma scritta i vari passaggi, nessuno dei quali \u00e8 particolarmente complicato. Inoltre il ragionamento segue esattamente quello che ho fatto io per riuscire a dimostrare il teorema, e quindi pu\u00f2 dare un’idea di come ci si possa muovere quando si vuole fare una dimostrazione matematica. Mica come le dimostrazioni dei libri, che sono fatte a posteriori!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Un buffo teorema dimostrato per filo e per segno<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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