{"id":5366,"date":"2007-10-08T14:29:24","date_gmt":"2007-10-08T14:29:24","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2007\/10\/08\/si_fa_presto_a\/"},"modified":"2007-10-08T14:29:24","modified_gmt":"2007-10-08T14:29:24","slug":"si_fa_presto_a","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2007\/10\/08\/si_fa_presto_a\/","title":{"rendered":"Si fa presto a dire media – parte 2"},"content":{"rendered":"

Non penserete mica di esservela cavata<\/a>, con le medie? Ne sono state definite di tutti i tipi, sempre per la solita ragione che in alcuni casi conviene usare una definizione diversa da quella abituale. Eccovi allora qualche altro tipo di media pi\u00f9 esoterica: non garantisco che vi serviranno nella vita di tutti i giorni, ma magari vi permetter\u00e0 di fare bella figura in societ\u00e0!
\nLa media geometrica<\/b> \u00e8 l’evoluzione della media aritmetica, nel senso che invece che avere somma e divisione si usano il prodotto e l’estrazione di radice. Limitandoci a due termini a<\/i> e b<\/i>, la loro media geometrica \u00e8 data da sqrt(ab<\/i>); inutile dire che se i termini fossero stati N, avremmo
\nusato la radice N-sima. Il nome di questa media credo derivi dal fatto che se abbiamo un rettangolo di lati a<\/i> e b<\/i>, il quadrato della stessa area ha appunto come lato sqrt(ab<\/i>); quindi ti permette di dire qual \u00e8 il “segmento medio” quando pensiamo all’area di una figura. Se vogliamo vedere la cosa in un altro modo e nascondere le radici quadrate, possiamo dirla cos\u00ec: se a<\/i> \u00e8 la media aritmetica tra m<\/i> e n<\/i>, allora n-a<\/i> = a-m<\/i>. Se g <\/i>\u00e8 la media geometrica tra m<\/i> e n<\/i>, allora n\/g<\/i> = g\/m<\/i>.
\nLa media armonica<\/b> \u00e8 pi\u00f9 complicata da spiegare, visto che \u00e8 “l’inverso della media aritmetica degli inversi”. Nel caso di due elementi, la formula si semplifica un po’, visto che da 1\/((1\/2)((1\/a<\/i>)+(1\/b<\/i>))) si pu\u00f2 arrivare a scrivere 2ab<\/i>\/(a<\/i>+b<\/i>); la fregatura \u00e8 che nessuno si ricorda mai la formula “semplice”, e quindi si deve tutte le volte manipolare quella “complicata”, ma sicuramente pi\u00f9 logica. Mi sarebbe piaciuto poter dire che la media armonica serve per trovare la “nota di mezzo” tra due, ma un po’ di conti fanno subito vedere che non \u00e8 sempre vero. La media armonica tra un do e quello successivo sulla scala, ad esempio, \u00e8 un fa e non un fa diesis; la media armonica tra un do e il sol superiore \u00e8 per\u00f2 effettivamente un mi bemolle, il che ci rende un po’ pi\u00f9 felici. Ma niente paura: esiste davvero un tipo di misura per cui la media armonica \u00e8 quella naturale. Supponiamo che abbia guidato per 10 chilometri alla velocit\u00e0 media di 30 Km\/h e per altri 10 chilometri alla velocit\u00e0 media di 60 Km\/h: quale sar\u00e0 la velocit\u00e0 media complessiva? 45 all’ora? No. La media aritmetica sarebbe stata la risposta giusta se avessi guidato per dieci minuti<\/i> alle due velocit\u00e0: allora avrei percorso complessivamente 15 chilometri in venti minuti, e i conti sarebbero tornati. Invece ho impiegato venti minuti per fare il primo tratto e dieci per fare il secondo tratto; in tutto sono stato in auto per mezz’ora e ho percorso 20 km, con una media complessiva di 40 Km\/h, che guarda caso \u00e8 la media armonica di 30 e 60. Questa differenza \u00e8 tra l’altro alla base di un problemino matematico semplice ma fuorviante. Immaginiamo che io voglia percorrere i 200 Km tra Milano e Bologna alla velocit\u00e0 media di 80 Km\/h, ma visto il traffico sull’Autosole sia costretto a fare i primi 100 chilometri ai quaranta all’ora. Se d’improvviso dopo Parma sono spariti tutti, a che velocit\u00e0 devo andare per il resto del percorso per raggiungere la media che volevo fare all’inizio?
\n\"variAnche gli ingegneri, poi, non volevano essere da meno e si sono inventati ancora un altro tipo di media, che chiamano media quadratica<\/b> oppure valore efficace<\/i>. Questo tipo di media \u00e8 utile ad esempio nel caso si voglia calcolare la media di tensione della corrente alternata. La fregatura della corrente alternata \u00e8 che a volte la tensione \u00e8 positiva e a volte negativa: se si fa la media aritmetica viene fuori zero, e chiunque si sia preso una scossa capisce che c’\u00e8 qualcosa che non va. Un approccio na\u00eff potrebbe essere quello di prendere il valore assoluto di tensione e fare la media di quello; ma gli ingegneri – nonostante affermino il contrario – non amano le semplificazioni e hanno cos\u00ec pensato a un approccio pi\u00f9 complicato. Per calcolare la media quadratica si prendono i vari valori, li si eleva al quadrato<\/i> (capito il motivo del nome?), si fa la media dei nuovi valori ottenuti e si estrae la radice quadrata del tutto. In effetti, a dirla cos\u00ec, la cosa sembra davvero un’inutile complicazione: ma gli ingegneri hanno un asso nella manica e dicono che questo tipo di media tiene anche in conto quanto i dati sono dispersi… ma di questo ne parler\u00f2 un’altra volta, anche perch\u00e9 dire il vero non \u00e8 che la cosa mi convinca troppo.
\nQuello che invece \u00e8 interessante notare \u00e8 che non solo se si prendono due numeri positivi tutte queste medie sono diverse tra loro – a meno che i due numeri siano uguali tra loro, ma allora a che ti serve farne la media? – ma sono sempre in un ben preciso ordine di grandezza relativa. Nella figura qui riportata, potete vedere cosa succede: dati due numeri (quelli in grigio in alto: rispettivamente 6 e 24) la media minore \u00e8 quella armonica H<\/b>, che nel nostro caso vale 9.6; segue la media geometrica G<\/b>, che vale 12; poi c’\u00e8 quella aritmetica A<\/b>, che \u00e8 15; infine si ha la media quadratica E<\/b>, che vale sqrt(306) e cio\u00e8 quasi 17.5. Anche se in questo esempio le varie medie sembrano essere tutte ugualmente distanziate tra di loro, questo \u00e8 un caso; quello che come dicevo non \u00e8 casuale \u00e8 l’ordine relativo tra le medie, che \u00e8 sempre lo stesso. Addirittura per quanto riguarda la media aritmetica e geometrica, che sono le due pi\u00f9 usate, la cosa assume il nome pomposo di disuguaglianza aritmetico-geometrica<\/i>.
\nCi sono ancora due tipi di media che si possono trovare leggendo i giornali; anch’esse hanno in fin dei conti diritto di esistenza, e quindi mi pare giusto parlarne un po’. La media pesata<\/b> si usa… quando si vogliono confrontare mele con pere. No, non \u00e8 cos\u00ec, ma l’idea \u00e8 abbastanza simile. Supponiamo di volere calcolare il reddito medio degli italiani, partendo dal reddito medio degli abitanti delle varie regioni. La prima idea potrebbe essere quella di fare la media dei vari redditi. Per\u00f2 la Provincia Autonoma di Bolzano, con meno di mezzo milione di abitanti, ha un reddito quasi triplo della Sicilia, che di abitanti ne ha dieci volte tanto; fare una semplice media funziona peggio dell’esempio di Trilussa del mezzo pollo. Se non ci credete, provate a pensare a due gruppi, uno con dieci persone che non hanno un euro e uno con una singola persona che possiede ben dieci euro; la media non \u00e8 certo di cinque euro a testa!\"statistiche
\nIl trucco per ottenere un dato sensato \u00e8 moltiplicare<\/i> il reddito medio delle singole regioni per il numero di abitanti della regione stessa, fare la media (aritmetica) dei risultati, e dividere<\/i> il totale per il numero complessivo degli abitanti italiani. Abbiamo pertanto dato un “peso” ai singoli valori, peso calcolato sul numero di abitanti. Scritto cos\u00ec sembra chiss\u00e0 che cosa, ma concettualmente non \u00e8 che sia poi cos\u00ec complicato: se il reddito medio degli altoatesini \u00e8 di 40000 euro, e il numero di cittadini \u00e8 mezzo milione, questo significa che \u00e8 come se ciascuno di loro avesse quel reddito. Facendo quindi la moltiplicazione otteniamo il reddito totale<\/i> della Provincia Autonoma, che si pu\u00f2 sommare a quello delle altre regioni perch\u00e9 “sono tutte mele” (non c’\u00e8 la parola “media”). Ma visto che la media dobbiamo alla fine farla, ecco che dopo occorre fare una divisione. Detto in un altro modo, la media pesata \u00e8 una banale media, dove non si prende un singolo rappresentante per ogni elemento del nostro insieme, ma li si prende tutti, ovviamente dando loro lo stesso valore perch\u00e9 \u00e8 l’unico che conosciamo. Il bello della media \u00e8 che \u00e8 vero che la distribuzione dei redditi tra le singole persone \u00e8 molto disuguale, ma per fare i conti possiamo fare finta che siano tutti uguali: basta ricordarsi di prenderli per\u00f2 tutti, e non limitarsi a un solo rappresentante.
\n\"statistiche La media mobile<\/b> si pu\u00f2 trovare spesso nelle pagine di economia. Prendiamo il valore di un’azione quotata in borsa. Soprattutto se l’azione non \u00e8 una delle pi\u00f9 trattate, da un giorno all’altro ci sono spesso delle variazioni consistenti, che per\u00f2 alla lunga pi\u00f9 o meno si annullano. Oppure consideriamo il numero di copie vendute da un giornale – o il numero di lettori del mio blog. Un quotidiano sportivo vende molte pi\u00f9 copie il luned\u00ec, mentre per un quotidiano economico il luned\u00ec \u00e8 una giornata morta; i miei pochi lettori durante il weekend hanno generalmente qualcosa di meglio da fare che vedere se ho scritto qualcosa… o pi\u00f9 probabilmente durante la settimana sono cos\u00ec scazzati che pur di fare qualcosa si mettono a leggermi. In ogni caso, il valore di un singolo giorno ha un’importanza relativa, se voglio sapere la tendenza sul lungo periodo. Bene, il sistema pi\u00f9 semplice per ridurre l’influsso di valori spuri \u00e8 quello di calcolare la media su un numero prefissato di valori: sette giorni nel caso del giornale, magari un intero mese per il titolo azionario. Nel primo caso, la variabilit\u00e0 delle quotazioni \u00e8 semplicemente nascosta dal grande numero di dati usati; nel secondo caso il ragionamento logico che si fa ha una sua correttezza formale, perch\u00e9 confronti dati coerenti, anche se si spostano (ecco il perch\u00e9 la media si chiama “mobile”!) nel tempo. Le due tabelle disegnate qui sopra mostrano il numero di accessi al mio blog nelle ultime sei settimane; converrete che \u00e8 molto pi\u00f9 semplice vedere qual \u00e8 la tendenza guardando la media mobile settimanale a sinistra, piuttosto che con il grafico giornaliero a destra. Abbiamo ancora una volta di fronte a noi il potere della media: eliminare dettagli inutili per la nostra analisi, e permetterci di concentrarci su quello che ci interessa realmente.
\nPer calcolare la media mobile su una finestra di N valori, occorre salvarsi tutti gli ultimi N+1 valori. Il procedimento banale consiste nel sommare gli N numeri e poi dividere per N, ma nel caso N sia grande il calcolo potrebbe dimostrarsi tedioso. Un sistema molto pi\u00f9 semplice \u00e8 prendere il valore della media attuale, e sommargli un N-simo della differenza tra il valore attuale e quello a distanza N. Chi ha voglia di fare i conti pu\u00f2 vedere come il conto equivale a buttare via il valore pi\u00f9 vecchio e mettere al suo posto quello appena trovato, che poi \u00e8 l’operazione che si vede capitare se ritagliamo una finestrella da un pezzo di carta, la posizioniamo sul foglio con i nostri dati e la spostiamo di una posizione a destra. Come sempre, nulla di complicato, almeno fino a che non te lo nascondono dietro una serie di paroloni!
\nPer il momento questo \u00e8 tutto. Non mi sono dimenticato che ho promesso anche di parlare della varianza e di tutte le belle cose correlate, per\u00f2 preferisco non mettere troppa carne al fuoco. Commenti e segnalazioni di errori, imprecisioni e incomprensibilit\u00e0 sono come sempre i benvenuti.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Dite la verit\u00e0, che tutti questi tipi di media non li avevate mai visti!<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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