{"id":5191,"date":"2007-07-27T17:17:05","date_gmt":"2007-07-27T17:17:05","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2007\/07\/27\/la_prova_del_nove\/"},"modified":"2007-07-27T17:17:05","modified_gmt":"2007-07-27T17:17:05","slug":"la_prova_del_nove","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2007\/07\/27\/la_prova_del_nove\/","title":{"rendered":"La prova del nove"},"content":{"rendered":"

(Trovate questo post tra le mie pagine di matematica light<\/a>!)
\nMi capita relativamente spesso di essere in giro con amici o conoscenti, parlare di operazioni matematiche elementari, e sentirmi chiedere “ma la prova del nove
\nfunziona davvero?” Sono insomma chiare due cose: il concetto \u00e8 rimasto cos\u00ec impresso agli alunni delle elementari che affiora anche dopo pi\u00f9 di trent’anni, e – a parte il nome – il suo funzionamento \u00e8 sempre stato visto come qualcosa di esoterico e pi\u00f9 vicino ad Harry Potter (“accio novem!”) che a una vera propriet\u00e0 matematica. D’altra parte, ci credo: a nessuna maestra alle elementari verrebbe in mente di spiegare il perch\u00e9<\/em> la regola funziona, ammesso che almeno loro lo sappiano. Ma finalmente potrete soddisfare la vostra pluridecennale curiosit\u00e0.
\n\"provadel9.PNG\"Innanzitutto, forse \u00e8 meglio ricordare cos’\u00e8<\/em> la prova del nove. Quando si fa una moltiplicazione (247*53=13091, tanto per fare un esempio pratico) a ogni numero presente nell’operazione sostituiamo quello formato dalla somma delle sue cifre; se la somma cos\u00ec ottenuta ha pi\u00f9 di una cifra, sommiamo quelle<\/em> cifre e si prosegue fino a che non arriviamo a una singola cifra. Nel nostro esempio, avremo pertanto 2+4+7=13, 1+3=4; 5+3=8; 1+3+0+9+1=14, 1+4=5. A questo punto, facciamo il prodotto delle cifre dei fattori, e se serve sommiamo le cifre del risultato per arrivare ad averne una sola (4*8=32, 3+2=5). Se questa cifra \u00e8 diversa da quella del risultato dell’operazione, vuol dire che abbiamo sbagliato da qualche parte; se invece \u00e8 la stessa, forse siamo riusciti a fare il conto correttamente. Come ausilio pratico, si mettono i quattro numeri all’interno di una croce, come mostrato nella figura qui sotto. Non garantisco che
\nla posizione<\/em> dei numeri nella croce, come indicata nella figura qui a sinistra, sia quella che ci insegnavano a scuola: qualche dettaglio ormai l’ho perso anch’io!
\nPer quali operazioni funziona la prova del nove? Addizioni, sottrazioni – basta ricordarci di sommare un 9 se il minuendo ha la somma delle cifre minore del sottraendo, come in 23-7 – e moltiplicazioni. Con le divisioni no, anche se puoi usare il trucco di rifare il calcolo “alla rovescia”, cio\u00e8 vederle come moltiplicazioni, e applicare cos\u00ec la regola. Ad esempio, se dobbiamo verificare 31415\/926 = 33 con resto 857, facciamo la prova con 33*926, cio\u00e8 6*8 = 48 e quindi 3, gli sommiamo la somma delle cifre di 857, vale a dire 2, e controlliamo se il risultato 5 \u00e8 uguale alla somma delle cifre di 31415… e per fortuna lo \u00e8.
\nPassato lo choc di avere visto tutte queste operazioni aritmetiche tutte in una
\nvolta, provo a spiegare perch\u00e9<\/em> la prova del nove funziona, e soprattutto perch\u00e9 a volte non<\/b> funziona. Il punto di partenza \u00e8 quella che tecnicamente si chiama “aritmetica modulare” e che facciamo tutti quando diciamo che “le undici del mattino pi\u00f9 tre ore sono le due del pomeriggio”. Immagino che chi mi sta leggendo o sa gi\u00e0 cos’\u00e8 l’aritmetica modulare, oppure verr\u00e0 a chiedermelo e io mi metter\u00f2 a scrivere qualcosa di pi\u00f9 completo al riguardo: per il momento mantengo la prima ipotesi. In pratica, la prova del nove non \u00e8 altro che fare l’operazione modulo 9, sostituendo cio\u00e8 ai numeri trovati il loro resto quando li si divide per nove. Le operazioni in aritmetica modulare funzionano per addizioni, sottrazioni e moltiplicazioni: quello che ci resta da capire \u00e8 come mai il resto modulo 9 di un numero \u00e8 uguale alla somma delle sue cifre, il che per\u00f2 \u00e8 facile. Infatti 1 diviso per nove fa 0 con resto di 1; 10 diviso 9 fa 1 con resto di 1; 100 diviso 9 fa 11 con resto di 1; e cos\u00ec via. Quindi se riprendiamo il nostro 247 e lo scriviamo come 2*100 + 4*10 + 7 scopriamo che il suo resto diviso per 9 \u00e8 2+4+7… esattamente la somma delle sue cifre.
\n\"provadel9.PNG\"\u00c8 stato pesante, lo so. Ma adesso viene fuori il bello. Perch\u00e9 si fa la prova “del nove” e non “del sette” oppure “del quindici”? Dal punto di vista matematico, \u00e8 esattamente la stessa cosa: sempre di aritmetica modulare di tratta. Solo che sommare le cifre di un numero \u00e8 molto pi\u00f9 semplice di calcolare il suo resto modulo 7 oppure 15 (provateci voi, se siete dei temerari). Cos\u00ec ci si limita a fare un calcolo facile, accettando il fatto che non tutti gli errori vengono trovati. Infatti, se ad esempio si sostituisce uno 0 con un 9 la somma finale delle cifre del numero non cambia; ma quel che \u00e8 pi\u00f9 preoccupante \u00e8 che se ci sbagliamo e scambiamo tra di loro due cifre (10391 invece che 13091) la somma delle cifre \u00e8 per definizione la stessa, e chiunque sia appena un po’ dislessico – oppure sbagli semplicemente a incolonnare i prodotti parziali – rischia grosso.
\nMa io una soluzione ce l’avrei anche: adottare la prova dell’undici<\/b>. La logica che sta dietro \u00e8 esattamente la stessa, solo che si calcola il resto della divisione per 11 e non di quella per 9. Calcolare questo resto \u00e8 un po’ pi\u00f9 complicato, ma nemmeno poi troppo: il metodo consiste nel sommare<\/em> e sottrarre<\/em> alternativamente le cifre del numero dato, partendo da destra e andando a sinistra. Se si va sottozero, basta naturalmente aggiungere 11. I resti che possiamo ottenere saranno i numeri da 0 a 10; nell’operazione di cui sopra avremo per la precisione 7-4+2=5, 3-5=9 (previa l’aggiunta di 11); 1-9+0-3+1 = 1; 9*5=45; 5-4=1. A parte vedere se si \u00e8
\nbravi anche a fare le sottrazioni, il che non sarebbe poi cos\u00ec male, il vero vantaggio \u00e8 quello di potere accorgersi di avere scambiato di posto due cifre, oppure non essersi spostati bene a sinistra quando si \u00e8 fatta la moltiplicazione. Se avessimo ad esempio allineato a destra i due prodotti parziali 741 e 1235, la somma sarebbe stata 1976, e la prova del nove ci avrebbe detto nulla di strano: la somma delle cifre \u00e8 sempre 5. La prova dell’undici, in compenso, avrebbe fatto subito suonare un campanello d’allarme: avremmo avuto come risultato 7 (6-7+9-1) e non 1. E scusate se \u00e8 poco!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Volevate ricordarvi come si faceva la prova del nove? ecco qua!<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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