{"id":4734,"date":"2007-02-12T13:48:10","date_gmt":"2007-02-12T13:48:10","guid":{"rendered":"http:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/2007\/02\/12\/numeri_multidimensionali\/"},"modified":"2007-02-12T13:48:10","modified_gmt":"2007-02-12T13:48:10","slug":"numeri_multidimensionali","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2007\/02\/12\/numeri_multidimensionali\/","title":{"rendered":"Numeri multidimensionali"},"content":{"rendered":"

[Questo testo \u00e8 stato scopiazzat… ehm, ispirato dal post di Mark C.Chu-Carroll su Good Math, Bad Math<\/em><\/a>. Commenti pi\u00f9 che benvenuti!]
\nIl concetto della “retta dei numeri”, quella simpatica astrazione per cui tutti i numeri razionali e irrazionali se ne stanno belli belli l’uno a fianco dell’altro, \u00e8 abbastanza noto, almeno per chi ha fatto il liceo. Non tutti per\u00f2 sanno che i matematici non si sono accontentati di restarsene confinati in uno spazio monodimensionale, e si sono lanciati in dimensioni sempre maggiori. Stavolta non parlo dei vettori, che sono gruppetti di numeri separati tenuti insieme per un unico scopo, a differenza dei partiti in una coalizione di governo in Italia: in questo caso avremo sempre a che fare con numeri singoli<\/em>.
\nIl primo tipo di numeri che incontriamo nel nostro giro sono quelli complessi<\/b>. Prima di arrivarci, per\u00f2, facciamo un passo “laterale”, e \"piano torniamo per un momento ai numeri immaginari<\/em>. Il nome \u00e8 tutto un programma: semplicemente, nel Rinascimento, Tartaglia e Cardano hanno scoperto che se facevano finta che le radici quadrate di numeri negativi, che spuntavano mentre cercavano di risolvere le equazioni di terzo grado, fossero dei “veri” numeri, alla fine esse sparivano e si ottenevano le soluzioni corrette. Al tempo i matematici non erano nemmeno certi esistessero i numeri negativi<\/em>: ma essendo i due molto pragmatici, hanno detto “immaginiamo che quella robaccia sia un numero”, e da qui \u00e8 arrivato il nome di numeri immaginari. Che poi, quanto “reale” \u00e8 un numero reale? Un terzo di torta uno riesce a immaginarselo, ma 1\/pi di torta non credo proprio. Ma ormai il nome \u00e8 quello, cos\u00ec come i numeri ottenuti sommando un reale e un immaginario sono chiamati “complessi” ma non \u00e8 che siano cos\u00ec tanto complicati. Ci sono voluti pi\u00f9 di due secoli prima che qualcuno riuscisse a vedere i numeri complessi non come due pezzi appiccicati insieme a forza, ma un oggetto singolo. Nel 1787 ci aveva tentato il norvegese Caspar Wessel, che per\u00f2 se ne stava appunto in capo al mondo e inoltre di professione faceva l’agrimensore, cos\u00ec nessuno si \u00e8 accorto di lui; nel 1801 ci riprov\u00f2 Jean-Robert Argand, che non faceva il matematico neppure lui ma era un libraio svizzero esule a Parigi, cosa che gli ha permesso di pubblicarsi il libro a sue spese e litigare un po’ con il gotha dei matematici, diventando subito noto.
\nL’idea di Argand, come l’uovo di Colombo, \u00e8 semplicissima da comprendere dopo che la si \u00e8 vista; invece che una retta si prende un piano, ci si disegnano due assi cartesiani, e si associa a ogni numero complesso un punto del piano. Siamo finalmente usciti dalla dimensione 1 e arrivati a quella 2, il che \u00e8 bellissimo: non tanto per tutto lo spazio in pi\u00f9 a nostra disposizione, quanto perch\u00e9 possiamo finalmente muoverci a piacere con tutte le operazioni matematiche – salvo dividere per zero, si intende – senza mai uscire dal nostro “giardinetto complesso”. Una situazione davvero favolosa, che per\u00f2 ha un rovescio della medaglia. Mentre sulla retta sapevamo sempre dire se un numero era maggiore o minore di un altro, ora abbiamo dei dubbi. Quale dovrebbe essere il numero maggiore tra 0+1i e 1+0i? E perch\u00e9? Ma si sa, le comodit\u00e0 hanno spesso un prezzo.
\nI numeri complessi sono davvero comodi per i matematici e non solo: la teoria della relativit\u00e0 e la meccanica quantistica li usano regolarmente. \"rotazioniMa gi\u00e0 con Argand ci si accorse che la moltiplicazione tra due numeri corrispondeva a una rotazione nel piano. Ad esempio, moltiplicare per i<\/em> significa ruotare di 90\u00b0 in senso antiorario; dunque i*i<\/em> \u00e8 un giro di 180\u00b0, che \u00e8 la stessa cosa che moltiplicare per -1. A questo punto l’irlandese William Rowan Hamilton ha detto “Che bello! Allora se aggiungo anche una j<\/em> posso anche indicare le rotazioni 3d!” Solo che i conti continuavano a non tornargli… fino a che un giorno del 1843, mentre passeggiava con la moglie e stava passando su un ponte, ebbe l’idea risolutiva: ci voleva anche una terza<\/em> variabile. Dimostrando scarso senso civico, si mise a incidere sul ponte l’equazione risolutiva: i<\/em>2<\/sup> = j<\/em>2<\/sup> = k<\/em>2<\/sup> = ijk<\/em> = -1. Nascono cos\u00ec i quaternioni<\/b>, numeri della forma a + bi + cj + dk. Qualcuno si potr\u00e0 chiedere perch\u00e9 per indicare le rotazioni nello spazio 3d si usi un numero con quattro<\/em> componenti, e qualcuno un po’ pi\u00f9 avventuroso dir\u00e0 “ma a che serve k<\/em>? basta scrivere ij<\/em>!” Peccato che ampliando cos\u00ec la dimensione dei nostri numeri ci siamo di nuovo persi qualcosa. \u00c8 vero che ij<\/em> = k<\/em>, ma ji<\/em>= –k<\/em>. Per i quaternioni non vale cio\u00e8 la propriet\u00e0 commutativa<\/em> della moltiplicazione. Sulle prime ci si pu\u00f2 restare male: che senso ha pensare che cinque file da tre sono diverse da tre file da cinque? Ma ricordiamoci che i quaternioni rappresentano le rotazioni nello spazio. E guarda caso, se facciamo prima una rotazione antioraria di 90\u00b0 e poi una riflessione allo specchio (cio\u00e8 una rotazione di 180\u00b0 nella terza dimensione), oppure facciamo prima la riflessione e poi la rotazione, otteniamo un risultato diverso. Insomma, la cosa ha un suo bel senso.
\nUno, due, quattro… si potrebbe immaginare che il prossimo passo sia avere un numero con otto dimensioni, e che questo tipo di numero ci far\u00e0 perdere ancora qualche propriet\u00e0 matematica, e in effetti \u00e8 cos\u00ec. Nel 1845 Arthur Cayley present\u00f2 al mondo gli ottetti<\/b> (detti anche ottonioni<\/em> per avere il nome simile a quello dei quaternioni). Qua, a parte l’unit\u00e0 standard, ci sono altre sette “unit\u00e0” il cui quadrato \u00e8 -1; per evitare di usare troppe lettere, in genere queste unit\u00e0 vengono chiamate e1<\/sub>, e2<\/sub> e cos\u00ec via fino a e7<\/sub>. La nuova propriet\u00e0 che si \u00e8 persa \u00e8 quella associativa<\/em>; in pratica, (a*b)*c non \u00e8 pi\u00f9 necessariamente uguale ad a*(b*c). Un altro choc di quelli incredibili, ma sono ragionevolmente certo che ci siano delle ricette di cucina in cui tu hai tre ingredienti, e a seconda dell’ordine in cui li mischi ottieni qualcosa di diverso. Ad ogni modo non preoccupatevi: mentre i quaternioni hanno comunque un certo uso in computer graphic, gli ottetti praticamente non vengono usati… anche se hanno una stranissima associazione col piano di Fano, di cui magari parler\u00f2 un’altra volta.
\nFine della storia. Non si riesce pi\u00f9 ad avere altri numeri multidimensionali… con un’eccezione. Esisterebbero infatti anche i sedenioni<\/b>, che come dovrebbe dire il nome hanno ben sedici “unit\u00e0”; con questa estensione per\u00f2 si perde la pi\u00f9 importante propriet\u00e0 algebrica dei numeri. In pratica, \u00e8 possibile trovare due sedenioni entrambi diversi da zero il cui prodotto \u00e8 zero: un obbrobrio che fa rabbrividire! (E non venitemi a dire che in un orologio analogico se reitero quattro volte un intervallo di tre ore ottengo che le lancette ritornano sullo zero; quella \u00e8 un’altra storia…)<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Come avete fatto a vivere fino ad oggi senza quaternioni e affini?<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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