{"id":38677,"date":"2026-11-11T05:12:28","date_gmt":"2026-11-11T04:12:28","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/?p=38677"},"modified":"2026-11-10T18:00:54","modified_gmt":"2026-11-10T17:00:54","slug":"polinomi-e-sporchi-trucchi","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2026\/11\/11\/polinomi-e-sporchi-trucchi\/","title":{"rendered":"Polinomi e sporchi trucchi"},"content":{"rendered":"

Un problema matematico abbastanza noto, probabilmente l’ho anche messo nei miei quizzini, \u00e8 il seguente. Io creo un polinomio $P$ a coefficienti interi non negativi, per esempio $n^2 + 42$ oppure $n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 1$. Voi dovete scoprire qual \u00e8 il polinomio nel minore numero di tentativi possibili: un tentativo consiste nel dirmi un numero, al che io vi dico il valore del polinomio calcolato in quel numero. Se per esempio voi mi dite 3 io nel primo caso risponder\u00f2 51 e nel secondo 256. Quanti tentativi vi servono per scoprire il polinomio? Fermatevi un attimo, se volete provare a risolvere il problema.<\/p>\n

Pu\u00f2 sembrare incredibile, ma bastano due tentativi; e posso anche dirvi che il primo tentativo usa il numero 1. Potete ancora pensarsi su un attimo, se volete.<\/p>\n

Ecco la spiegazione di come trovare il polinomio. Per definizione, $P(1)$ \u00e8 la somma di tutti i coefficienti del polinomio: nel primo caso 43, nel secondo 16. Dato che tutti i coefficienti sono positivi, sappiamo che nessuno pu\u00f2 superare quel valore. Prendete ora la pi\u00f9 piccola potenza di 10 che superi quel valore \u2013 in entrambi i casi \u00e8 100 \u2013 e chiedete quanto vale il polinomio per quel numero: nel primo caso \u00e8 10042 e nel secondo 104060401. Separate infine il numero ottenuto in parti della stessa lunghezza del numero di zeri del vostro tentativo, in questo caso 2: troviamo 1|00|42 e 1|04|06|04|01, e come vedete quelli sono proprio i coefficienti del polinomio. Chiedere un valore maggiore di $P(1)$ serve per non avere sovrapposizione tra i vari pezzi: con il primo polinomio se aveste chiesto $P(10)$ vi avrei risposto 142, e voi non avreste potuto distinguere tra $n^2 + 42$ o $n^2 + 4n + 2$. Vi sarebbe bastato prendere un qualunque numero maggiore di $P(1)$ e scrivere il risultato in quella base; ma perch\u00e9 fare pi\u00f9 fatica del necessario a decodificare?<\/p>\n

Proof Positive ha per\u00f2 mostrat<\/a>o che si pu\u00f2 anche trovare il polinomio chiedendo il suo valore per un singolo numero! Il trucco \u00e8 scegliere un numero trascendente, come $pi$. Per definizione di numero trascendente, due polinomi qualunque a coefficienti interi devono per forza dare valori diversi quando calcolati per un valore trascendente: altrimenti la loro differenza sarebbe un polinomio che vale zero per quel numero, il che \u00e8 impossibile. Prendiamo per esempio il primo polinomio: abbiamo che $P(pi) = 51,86960440…$. Dato che $ pi^4 gt 3^4 = 81$ si sa che il polinomio \u00e8 al pi\u00f9 di terzo grado. A questo punto con molta pazienza si prova a vedere se \u00e8 della forma $kx^3 + textrm{qualcosa}$ con $k$ minore di 4, poi si passa a $kx^2 + textrm{qualcosa}$ ed eventualmente, ma non \u00e8 il nostro caso, a $kx + textrm{qualcosa}$. Il numero di verifiche da fare \u00e8 finito, e quindi in linea di principio, e se vi do sufficienti cifre decimali siete sicuri di trovarlo. Chiaramente all’inizio avevo usato $n$ e non $x$ come variabile per trarvi in inganno…<\/p>\n

Una modifica interessante a un problema matematico classico.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_lmt_disableupdate":"","_lmt_disable":"","site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"default","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"set","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_hide_featured_image":false,"_jetpack_featured_image_duplicate_dismissed":0,"_jetpack_feature_clip_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":3,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"federated","footnotes":"","jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1033,214],"tags":[1134,1135],"class_list":["post-38677","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matelight-2026","category-matematica_light","tag-algebra","tag-numeri-naturali"],"modified_by":".mau.","jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yV-a3P","jetpack_likes_enabled":true,"jetpack-related-posts":[{"id":7771,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2010\/03\/17\/un_problema_sui\/","url_meta":{"origin":38677,"position":0},"title":"Un problema sui polinomi","author":".mau.","date":"2010-03-17","format":false,"excerpt":"Non sembra, ma dare dei vincoli sui coefficienti di un polinomio restringe davvero le possibilit\u00e0!","rel":"","context":"In "matematica_light"","block_context":{"text":"matematica_light","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/matematica_light\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":21183,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2020\/11\/01\/quizzino-della-domenica-polinomi\/","url_meta":{"origin":38677,"position":1},"title":"Quizzino della domenica: polinomi","author":".mau.","date":"2020-11-01","format":false,"excerpt":"\u00c8 ovvio che se prendiamo un polinomio in una variabile x a coefficienti interi, come 3x\u00b3+14x\u00b2+15x+10, e assegniamo a x un valore intero otteniamo un risultato intero. 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