{"id":38449,"date":"2026-10-14T05:12:41","date_gmt":"2026-10-14T03:12:41","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/?p=38449"},"modified":"2026-10-12T15:55:04","modified_gmt":"2026-10-12T13:55:04","slug":"somme-di-quadrati","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2026\/10\/14\/somme-di-quadrati\/","title":{"rendered":"Somme di quadrati"},"content":{"rendered":"

Forse non tutti sanno che un qualunque numero intero positivo pu\u00f2 essere scritto come somma di al pi\u00f9 quattro quadrati di interi positivi, o se preferite di esattamente quattro quadrati di numeri naturali (compreso lo zero). L’affermazione \u00e8 stata congetturata gi\u00e0 da Diofanto; Bachet la tradusse dal greco, Lagrange lo dimostr\u00f2 e Legendre \u00e8 considerato colui che nel 1798 ha anche dimostrato che gli unici numeri che richiedono effettivamente tutti e quattro i quadrati sono quelli della forma $4^k (8m+7)$, con k <\/em>e m <\/em>numeri naturali. A dire il vero Legendre per dimostrarlo assunse che dati due numeri interi\u00a0a<\/em> e b <\/em>primi tra loro esistono infiniti primi della forma\u00a0a<\/em> +\u00a0nb<\/em>, con\u00a0n<\/em> intero; e Dirichlet dimostr\u00f2 questo fatto solo quarant’anni dopo. La prima dimostrazione corretta fu del solito Gauss.<\/p>\n

C’\u00e8 per\u00f2 un altro problema apparentemente simile ma in pratica pi\u00f9 complicato. Quali sono i numeri interi positivi che non possono essere scritti come somma di quadrati\u00a0tutti diversi<\/strong>? \u00c8 facile vedere che tra i numeri di una cifra ci sono 2, 3, 6, 7, 8; relativamente facile trovare 11, 12, 15, 18, 19, 22, 23, 24, 27, 28, 31, 32, 33; poi la cosa si fa pi\u00f9 complicata. Gli altri numeri sono 43, 44, 47, 48, 60, 67, 72, 76, 92, 96, 108, 112, 128. Fine. Dopo questi 31 non ce ne sono altri, come del resto dice OEIS<\/a>. Il tutto \u00e8 stato dimostrato da Sprague nel 1948, quindi ben dopo il teorema dei quattro quadrati.<\/span><\/p>\n

Il guaio \u00e8 che la dimostrazione \u00e8 per induzione, e passi: ma per la pi\u00f9 brutta forma di induzione che io abbia mai visto. Se la guardate su ProofWiki<\/a>, vedrete che il passo di base \u00e8 verificare che tutti i numeri da 129 a 324 = 18\u00b2 sono esprimibili, mostrare che dato un numero k <\/em>> 324 e calcolato il numero\u00a0i<\/em> per cui\u00a0i\u00b2 < k\u00a0\u2264\u00a0<\/em>(i<\/em>+1)\u00b2 possiamo scrivere\u00a0k\u00a0<\/em> \u2212 (i<\/em> \u2212 4)\u00b2 come somma di quadrati distinti nessuno dei quali \u00e8 (i<\/em> \u2212 4)\u00b2, e infine controllare tutti i numeri da 1 a 128 per vedere se possono o no essere scritti in quel modo.<\/p>\n

Occhei, non siamo certo al livello delle dimostrazioni IA, ma direi che comunque non \u00e8 che si impari molto da questa dimostrazione!

alcuni risultati su come si pu\u00f2 rappresentare un numero naturale come somma di quadrati.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_lmt_disableupdate":"","_lmt_disable":"","site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"default","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"set","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_feature_clip_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":3,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"federated","footnotes":"","jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1033,214],"tags":[],"class_list":["post-38449","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matelight-2026","category-matematica_light"],"modified_by":".mau.","jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yV-a09","jetpack_likes_enabled":true,"jetpack-related-posts":[{"id":37516,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2026\/06\/17\/radice-quadrata-intera\/","url_meta":{"origin":38449,"position":0},"title":"radice quadrata intera","author":".mau.","date":"2026-06-17","format":false,"excerpt":"\u00e8 stranamente calcolabile con lo stesso algoritmo con i numeri reali","rel":"","context":"In "mate-light 2026"","block_context":{"text":"mate-light 2026","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2026\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":28957,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2024\/05\/22\/interi-di-gauss-e-fattorizzazione-unica\/","url_meta":{"origin":38449,"position":1},"title":"Interi di Gauss e fattorizzazione unica","author":".mau.","date":"2024-05-22","format":false,"excerpt":"Non vale solo per i numeri naturali","rel":"","context":"In "mate-light-2024"","block_context":{"text":"mate-light-2024","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2024\/"},"img":{"alt_text":"i primi gaussiani","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/05\/PrimiGaussiani-1024x994.jpg?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200,"srcset":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/05\/PrimiGaussiani-1024x994.jpg?resize=350%2C200&ssl=1 1x, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/05\/PrimiGaussiani-1024x994.jpg?resize=525%2C300&ssl=1 1.5x"},"classes":[]},{"id":15610,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2017\/10\/22\/quizzino-della-domenica-primo-e-quadrato\/","url_meta":{"origin":38449,"position":2},"title":"Quizzino della domenica: primo e quadrato","author":".mau.","date":"2017-10-22","format":false,"excerpt":"Abbiamo due numeri (interi positivi): un primo e un quadrato. La loro differenza \u00e8 100. Qual \u00e8 il maggiore? (un aiutino lo trovate sul mio sito, alla pagina http:\/\/xmau.com\/quizzini\/p279.html; la risposta verr\u00e0 postata l\u00ec il prossimo mercoled\u00ec. Problema di Ed Southall)","rel":"","context":"In "giochi"","block_context":{"text":"giochi","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/giochi\/"},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2017\/10\/q279a.png?resize=350%2C200","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":8748,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2012\/03\/11\/problema_della_6\/","url_meta":{"origin":38449,"position":3},"title":"Problema della domenica: Quadrato pi\u00f9 cubo","author":".mau.","date":"2012-03-11","format":false,"excerpt":"un po' di numeri geometrici in azione","rel":"","context":"In "giochi"","block_context":{"text":"giochi","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/giochi\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":25586,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2023\/01\/16\/perche-2-non-puo-essere-razionale\/","url_meta":{"origin":38449,"position":4},"title":"Perch\u00e9 √2 non pu\u00f2 essere razionale","author":".mau.","date":"2023-01-16","format":false,"excerpt":"Una bellissima dimostrazione che non avevo mai visto.","rel":"","context":"In "matematica_light"","block_context":{"text":"matematica_light","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/matematica_light\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":37851,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2026\/07\/29\/quadrato-alfamagico\/","url_meta":{"origin":38449,"position":5},"title":"Quadrato alfamagico","author":".mau.","date":"2026-07-29","format":false,"excerpt":"Un quadrato magico \u00e8 una matrice di numeri tutti diversi per cui la somma di ogni riga, di ogni colonna e delle due diagonali d\u00e0 lo stesso numero, detto costante magica. Di solito lo si vede raffigurato nella forma cinese del Lo Shu, che si pensa essere la prima sua\u2026","rel":"","context":"In "mate-light 2026"","block_context":{"text":"mate-light 2026","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2026\/"},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2026\/07\/alfamagico3.jpg?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]}],"jetpack_sharing_enabled":true,"jetpack_featured_media_url":"","_links":{"self":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/38449","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=38449"}],"version-history":[{"count":2,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/38449\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":38451,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/38449\/revisions\/38451"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=38449"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=38449"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=38449"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}