{"id":37910,"date":"2026-08-26T04:51:37","date_gmt":"2026-08-26T02:51:37","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/?p=37910"},"modified":"2026-07-23T19:23:43","modified_gmt":"2026-07-23T17:23:43","slug":"monty-hall-in-coppia-come-trovare-la-soluzione","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2026\/08\/26\/monty-hall-in-coppia-come-trovare-la-soluzione\/","title":{"rendered":"Monty Hall in coppia: come trovare la soluzione"},"content":{"rendered":"

Il quizzino di domenica scorsa<\/a> ha una soluzione che sembra essere stata tirata fuori da un cappello: come si potrebbe immaginare un protocollo di questo tipo? In realt\u00e0 le cose non stanno proprio cos\u00ec: pensandoci su attentamente, non \u00e8 troppo difficile arrivare alla soluzione. Il trucco \u00e8 pensare a tutti i casi possibili contemporaneamente anzich\u00e9 cercare di lavorare caso per caso. Vediamo come si pu\u00f2 fare.<\/p>\n

Innanzitutto ricordo il contesto. Ci sono tre oggetti a<\/em>, b<\/em>, c<\/em>; due giocatori, che chiameremo A<\/em> e B<\/em>, devono trovare l’oggetto corrispondente al loro nome. Essi hanno due tentativi ciascuno a disposizione ma non possono scambiarsi informazioni, quindi l’algoritmo da seguire deve essere preparato a priori. Sappiamo che ci sono sei permutazioni possibili di a<\/em>, b<\/em>, c<\/em>; sappiamo anche che un singolo giocatore non pu\u00f2 fare meglio di una probabilit\u00e0 2\/3, e quindi quello \u00e8 il valore massimo ottenibile. Detto in altri termini, l’algoritmo pu\u00f2 al massimo dare la risposta corretta in quattro casi su sei. Nel nostro gioco, “risposta corretta” significa che entrambi i giocatori trovano il loro oggetto; per massimizzare le probabilit\u00e0 di farlo, dobbiamo fare in modo che non capiti mai che uno solo indovini, ma quando il primo sbaglia sbagli anche il secondo. In tal modo compattiamo il pi\u00f9 possibile gli errori.<\/p>\n

Cominciamo dalla prima scelta del primo giocatore: \u00e8 assolutamente casuale, quindi diciamo che apre la porta 1. I casi sono due: o c’\u00e8 l’auto oppure no. (Non mi interessano le probabilit\u00e0 relative, almeno per il momento). Se l’auto \u00e8 l\u00e0 le permutazioni corrispondenti sono abc <\/em>e acb<\/em>; al giocatore 2 baster\u00e0 non aprire la porta 1 e la squadra vince. Questo ci fa dedurre che la prima mossa del secondo giocatore non deve essere la porta numero 1. Abbiamo trovato due casi vincenti. Se invece l’auto non c’\u00e8, pu\u00f2 scegliere la porta 2 oppure la 3, che hanno la stessa probabilit\u00e0 di avere l’auto: le quattro permutazioni rimaste sono bac, bca, cab, cba. <\/em><\/p>\n

Il primo giocatore potrebbe sempre scegliere la porta 2, e quindi trovare l’auto nei casi bac<\/em> e cab,<\/em> mentre non la trover\u00e0 nei casi bca <\/em>e cba<\/em>. Passiamo ora al secondo giocatore: visto che sa che il primo non ha aperto la porta 3, la aprir\u00e0 per prima. Se trova\u00a0a<\/em> sa gi\u00e0 che hanno perso; se trova\u00a0b<\/em> hanno vinto; se trova\u00a0c\u00a0<\/em>non sa per\u00f2 quale delle altre due porte aprire, e quindi la soluzione non \u00e8 ottimale perch\u00e9 abbiamo tre casi in cui perdono: i due che terminano con\u00a0a<\/em> e uno dei due che termina con\u00a0a<\/em>. Quindi il primo giocatore deve aprire l’eventuale seconda porta a seconda di quello che trova nella prima: le due possibilit\u00e0 sono “scegliere la porta corrispondente a quello che si \u00e8 trovato” e “scegliere l’altra porta”. Di per s\u00e9 la situazione resta simmetrica, perch\u00e9 basta cambiare il numero alle porte 2 e 3; possiamo quindi immaginare che faccia la prima scelta, e quindi vinca nei casi\u00a0cba<\/em> e\u00a0bac<\/em> e perda nei casi cab\u00a0<\/em>e\u00a0bca<\/em>. Passiamo al secondo giocatore. Aprendo la porta 2, se trova\u00a0b<\/em> hanno vinto, perch\u00e9 le due combinazioni con\u00a0b<\/em> al secondo posto sono entrambe vincenti per il primo. Se trova\u00a0a<\/em>, i due casi possibili sono\u00a0cab<\/em> e\u00a0bac<\/em>; gli conviene sperare nella seconda, perch\u00e9 se fosse la prima tanto avrebbero gi\u00e0 perso. Quindi aprir\u00e0 la prima porta. Similmente se trova\u00a0c<\/em> gli converr\u00e0 aprire la terza porta. Per i curiosi: se il primo giocatore avesse scelto l’altra strategia, e quindi i casi perdenti fossero cba<\/em> e\u00a0bac<\/em>, naturalmente il secondo giocatore avrebbe dovuto aprire inizialmente la porta 3: come dicevo, basta scambiare tra loro le due porte. Si sarebbe arrivati comunque alla soluzione, ma l’algoritmo sarebbe stato pi\u00f9 difficile da memorizzare.<\/p>\n

Il vantaggio di questo gioco in miniatura \u00e8 che le possibilit\u00e0 sono cos\u00ec poche (sei…) da poter fare l’analisi a mano. Ma il principio “cercare di raggruppare insieme tutti i casi perdenti, cos\u00ec ce li togliamo dai piedi in un colpo solo” \u00e8 importantissimo in questo tipo di problemi. Il secondo principio da notare \u00e8 che anche in un caso cos\u00ec semplice non \u00e8 possibile definire una strategia indipendente da cosa appare nella prima porta aperta. A un certo punto mi ero detto “ma non possiamo far scegliere per esempio a entrambi i giocatori una permutazione ciclica di\u00a0abc<\/em>? Poi ho guardato ed evidentemente la cosa funziona solo se la permutazione \u00e8 effettivamente ciclica, quindi la probabilit\u00e0 di vittoria finale \u00e8 solo del 50%. Questo significa che non basta indovinare o sbagliare entrambi, ma bisogna anche pensare a come l’altro concorrente pu\u00f2 sbagliare!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Diciamo che ci si pu\u00f2 arrivare anche senza sapere che ce n’\u00e8 una.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_lmt_disableupdate":"","_lmt_disable":"","site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"default","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"set","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_feature_clip_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":3,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"federated","footnotes":"","jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1033,214],"tags":[],"class_list":["post-37910","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matelight-2026","category-matematica_light"],"modified_by":".mau.","jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yV-9Rs","jetpack-related-posts":[{"id":25897,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2023\/03\/02\/il-paradosso-dei-gelatai-2-0\/","url_meta":{"origin":37910,"position":0},"title":"Il paradosso dei gelatai 2.0","author":".mau.","date":"2023-03-02","format":false,"excerpt":"I modelli matematici sono sempre pericolosi da gestire","rel":"","context":"In "matematica_light"","block_context":{"text":"matematica_light","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/matematica_light\/"},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2023\/02\/gelatai.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":25062,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2022\/10\/30\/quizzino-della-domenica-diimezza-triangolo\/","url_meta":{"origin":37910,"position":1},"title":"Quizzino della domenica: Dimezza il triangolo","author":".mau.","date":"2022-10-30","format":false,"excerpt":"Abbiamo due triangoli rettangoli isosceli di cartoncino A e B come in figura, con A strettamente maggiore di B. 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