{"id":37074,"date":"2026-05-13T04:51:17","date_gmt":"2026-05-13T02:51:17","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=37074"},"modified":"2026-05-12T22:18:52","modified_gmt":"2026-05-12T20:18:52","slug":"unaltra-approssimazione-non-trigonometrica","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2026\/05\/13\/unaltra-approssimazione-non-trigonometrica\/","title":{"rendered":"Un’altra approssimazione non-trigonometrica"},"content":{"rendered":"

\"l'approssimazione<\/p>\n

Dopo quella della scorsa settimana<\/a>, ecco un’altra approssimazione trigonometrica scovata da John D. Cook<\/a>. Immaginate di avere un arco $a$ (in rosso in figura) di un cerchio di raggio $r$, il cui angolo al centro relativo \u00e8 $\\theta$. La corda sottesa dall’angolo (in blu) \u00e8 lunga $c$, mentre la corda sottesa da met\u00e0 dell’angolo (in verde) \u00e8 lunga $b$. Come sappiamo, se misuriamo in radianti abbiamo che $a = r\\theta$. Ma se non abbiamo un goniometro ma solo un righello? Vale allora l’approssimazione <\/p>\n

$$ a = r\u03b8 \u2248 12 b^2\/(c + 4b).$$<\/p>\n

L’approssimazione \u00e8 come sempre migliore per un angolo piccolo, ma \u00e8 rimarchevole anche per angoli moderatamente grandi. Se per esempio abbiamo (anche se non lo sappiamo…) $\\theta = \\pi\/3$, cio\u00e8 60 gradi, e il raggio del cerchio \u00e8 1 per semplificare i conti sappiamo che $a = \\theta$, e $c = 1$. Se ora misurassimo $b$, otterremmo 0,51764 con cinque cifre significative. La formula ci d\u00e0 per l’arco $a \u2248 1,\\! 04718$, mentre il valore esatto a sei cifre significative \u00e8 $1,\\! 04720$. In pratica gli errori di misurazione sono molto maggiori dell’errore compiuto usando la stima!<\/p>\n

\"la<\/p>\n

La dimostrazione si vede in figura. Partiamo con un angolo $ \\varphi = \\theta\/4 $ e costruiamo le righe ausiliare mostrate in figura. Abbiamo una serie di triangoli simili: quindi $ \\cos(\\varphi) = c \/ 2b $ e $ \\sin(\\varphi) = b \/ 2r$. Espandendo in serie di potenze, <\/p>\n

$$ c \/ 2b = \\cos(\\varphi) = 1 \u2212 \u03c6^2\/2! + \\varphi^4\/4! \u2212 \u2026 $$
\n$$ 2b \/ a = \\sin(\\varphi) \/ \\varphi = 1 \u2212 \\varphi^2\/3! + \\varphi^4\/5! \u2212 \u2026 $$ <\/p>\n

Se moltiplichiamo $ 2b \/ a $ per 3 e sottraiamo $ c \/ 2b$, i termini $\\varphi^2$ si cancellano e resta<\/p>\n

$$ 6b \/ a \u2212 c \/ 2b = 2 \u2212 \\varphi^4\/60 + \u2026 $$<\/p>\n

da cui <\/p>\n

$$ 6b \/ a \u2212 c \/ 2b \u2248 2 $$<\/p>\n

La formula segue immediatamente. Avendo tolto un termine alla quarta potenza e anche diviso per 60 \u00e8 chiaro che anche per valori non piccolissimi di $\\varphi$ l’errore \u00e8 minimo.<\/p>\n

Un’ultima curiosit\u00e0: sia questo risultato che il precedente sono stati pubblicati durante la seconda guerra mondiale. La mia ipotesi \u00e8 che non avendo ancora calcolatori elettronici i matematici applicati cercavano di semplificare il lavoro dei calcolatori umani.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Come stimare la lunghezza di un arco partendo da due corde.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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