{"id":36716,"date":"2026-04-22T04:51:41","date_gmt":"2026-04-22T02:51:41","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=36716"},"modified":"2026-04-16T08:48:39","modified_gmt":"2026-04-16T06:48:39","slug":"cifre-nello-sviluppo-di-1-p","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2026\/04\/22\/cifre-nello-sviluppo-di-1-p\/","title":{"rendered":"Cifre nello sviluppo di 1\/p"},"content":{"rendered":"<p>Sappiamo che per alcuni numeri primi $p$ lo sviluppo decimale di $\\frac{1}{p}$ ha esattamente $p-1$ cifre. Per esempio, $ \\frac{1}{7} = 0,\\!(142857)$ e $ \\frac{1}{19} = 0,\\!(052631578947368421)$, dove le parentesi tonde indicano il periodo. Questi numeri sono detti <a href=\"https:\/\/en.wikipedia.org\/wiki\/Full_reptend_prime\">numeri primi lunghi<\/a> (full reptend primes) e costituiscono la successione <a href=\"https:\/\/oeis.org\/A001913\">A001913 in OEIS<\/a>. Per altri numeri primi, invece, il periodo \u00e8 pi\u00f9 corto, anche se deve essere necessariamente un fattore di $p-1$; per esempio $ \\frac{1}{13} = 0,\\!(076923)$ e $ \\frac{1}{37} = 0,\\!(027)$. Nel caso dei numeri primi lunghi sappiamo che il periodo si ripete ciclicamente: i resti di $\\frac{i}{7}$ sono 142857, 285714. 428571, 571428, 714285, 857142. Negli altri casi troveremo pi\u00f9 gruppi di periodi ciclici: nel caso di $\\frac{i}{13}$ abbiamo 076923, 153846, 230769, 307692, 384615 e cos\u00ec via. Notate che almeno a prima vista non c&#8217;\u00e8 nessun ordine nella successione; il primo periodo \u00e8 in posizione 1, 3, 4 e il secondo in posizione 2 e 5. Questi periodi si chiamano <i>insiemi ripetuti distinti<\/i>.<\/p>\n<p>Un <a href=\"https:\/\/www.jstor.org\/stable\/2310471\">risultato di James K. Schiller<\/a>, riportato da <a href=\"https:\/\/www.johndcook.com\/blog\/2026\/04\/10\/fraction-digits\/\">John D. Cook<\/a>, mosgra per\u00f2 che la collezione di insiemi ripetuti distinti per ciascun numero primo \u00e8 il pi\u00f9 uniforme possibile rispetto alle cifre da 0 a 9. Pi\u00f9 precisamente, se abbiamo $p = 10q + r$, con $1 \\le r \\le 9$ e prendiamo tutte le cifre degli insiemi ripetuti distinti avremo che $11 \u2212 r$ cifre appariranno $q$ volte e le altre $r \u2212 1$ appariranno $q + 1$ volte. Per esempio con $ \\frac{1}{13} $ abbiamo i due insiemi 076923 e 153846, e quindi dovremmo avere due cifre che appaiono due volte e tutte le altre una volta. In effetti troviamo due volte 3 e 6. Un esempio pi\u00f9 complicato \u00e8 $1\/73$, che ha i nove periodi 01369863, 02739726, 04109589, 05479452, 06849315, 08219178, 12328767, 16438356 e 24657534; se prendiamo tutte queste cifre scopriamo che anche in questo caso il 3 e il 6 appaiono una volta in pi\u00f9 delle altre cifre.<\/p>\n<p>\u00c8 un caso che siano sempre il 3 e il 6? Secondo me no, ma sono troppo pigro per dimostrare che se il numero primo finisce per 3 le cifre in eccesso sono quelle due, mentre se il numero finisce con 7 saranno 1, 2, 4, 5, 7, 8 e se finisce con 9 saranno tutte tranne 9 e 0 (se finisce per 1 ovviamente tutte le cifre appariranno lo stesso numero di volte). Volete divertirvi voi?<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>si distribuiscono &#8220;bene&#8221;.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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