{"id":36528,"date":"2026-04-01T04:51:13","date_gmt":"2026-04-01T02:51:13","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=36528"},"modified":"2026-04-01T18:00:46","modified_gmt":"2026-04-01T16:00:46","slug":"i-codici-di-golay","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2026\/04\/01\/i-codici-di-golay\/","title":{"rendered":"I codici di Golay"},"content":{"rendered":"

La teoria dei codici a correzione di errore \u00e8 molto ampia, perch\u00e9 ci sono vari tipi di errore possibile quando viene trasmessa una codifica (diciamo binaria) del dato, e il valore a priori della probabilit\u00e0 di un errore fa scegliere un metodo rispetto a un altro. Per esempio, i primi codici ASCII erano a 7 bit in modo da usare l’ottavo come codice di parit\u00e0: in questo modo ci si poteva accorgere di un singolo errore, anche se non si sapeva su quale bit, e chiedere che il carattere venisse ritrasmesso. Naturalmente gi\u00e0 quand’ero ragazzo io non valeva pi\u00f9 la pena di testare per un errore la cui probabilit\u00e0 era infima, e cos\u00ec si pass\u00f2 alle codifiche che usavano tutti e otto i bit. <\/p>\n

Ma cosa succede quando arrivano i segnali da una sonda spaziale? Come potete immaginare, il tasso di errore \u00e8 molto pi\u00f9 alto, e soprattutto farsi rispedire i dati non \u00e8 in genere un’opzione usabile. Servono quindi altri tipi di codice: quello che per esempio \u00e8 stato usato sulle sonde Voyager 1 e Voyager 2, che non avevano molta memoria a disposizione e quindi dovevano mandare subito via i dati ottenuti, \u00e8 il codice di Golay<\/a>. Esso trasforma un insieme di 12 bit in uno da 24. Raddoppiamo insomma il materiale da spedire: per\u00f2 se mandassimo due copie identiche potremmo al pi\u00f9 accorgerci che c’\u00e8 qualche errore, mentre in questo modo possiamo ricostruire qual era il messaggio originale se tra quei bit ce ne sono fino a tre sbagliati, e se ce ne sono quattro possiamo comunque sapere che c’\u00e8 stato un errore. (Con pi\u00f9 di quattro errori sbagliamo proprio a ricavare il messaggio originale, ma se ci sono cos\u00ec tanti errori possiamo fare davvero poco, a meno di creare codici enormi)<\/p>\n

\"la<\/a>
codice di Golay (immagine di Parcly Taxel, da Wikimedia Commons<\/a>)<\/figcaption><\/figure>\n

Come funziona in pratica un codice di Golay? Si prendono i bit di input a dodici per volta, si costruisce un vettore (a dodici elementi) e lo si moltiplica per la matrice 12×24 mostrata qui sopra, ottenendo un nuovo vettore a 24 elementi che \u00e8 quello che spediamo. (La moltiplicazione \u00e8 binaria, il che significa che il risultato della moltiplicazione \u00e8 da prendere modulo 2.) La cosa bella \u00e8 che se prendiamo due qualunque tra i 4096 possibili vettori di input di 12 elementi e consideriamo gli output corrispondenti possiamo essere certi che ci saranno almeno otto bit diversi. Questa misura di diversit\u00e0 \u00e8 la distanza di Hamming: come dicevo sopra, se l’output ci \u00e8 arrivato corrotto per al massimo tre bit ci sar\u00e0 un unico codice tra i 4096 di output per cui la distanza di Hamming \u00e8 al massimo 3, e che \u00e8 dunque quello effettivamente spedito: con quattro bit errati sappiamo che c’\u00e8 stato un errore, ma non siamo in grado di scegliere tra i due codici vicini.<\/p>\n

Si pu\u00f2 persino fare (leggermente) meglio. L’ultimo bit dell’output \u00e8 semplicemente un controllo di parit\u00e0: se lo eliminiamo ci resta un codice che ha vettori di 23 but come output ed \u00e8 un codice perfetto<\/a><\/i>, nel senso che se associamo a ciascun codice di output tutti quelli che hanno distanza da lui al massimo 3 completiamo tutto lo spazio dei possibili 2^23 vettori di output. I codici perfetti sono piuttosto rari: il fatto che Golay ne riusc\u00ec a trovare uno anche abbastanza complicato nel 1949 la dice lunga sulla sua abilit\u00e0.<\/p>\n

Un’ultima curiosit\u00e0: John D. Cook ha segnalato<\/a> come Golay abbia anche ideato un codice ternario<\/a>, dove i valori dei “trit” possono essere 0, 1, 2 (o −1, se lo volete bilanciato: tanto le operazioni in base 3 sono le stesse). In questo caso il codice esteso con il bit di parit\u00e0 trasforma sei trit in dodici, che hanno una distanza almeno 6 tra loro, mentre quello perfetto li trasforma in undici trit, che hanno una distanza di almeno 5. Peccato che non abbiamo computer ternari…<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

La teoria dei codici a correzione di errore \u00e8 molto ampia, perch\u00e9 ci sono vari tipi di errore possibile quando viene trasmessa una codifica (diciamo binaria) del dato, e il valore a priori della probabilit\u00e0 di un errore fa scegliere un metodo rispetto a un altro. Per esempio, i primi codici ASCII erano a 7 […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":3,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"federated","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1033,214],"tags":[],"class_list":["post-36528","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matelight-2026","category-matematica_light"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yV-9va","jetpack-related-posts":[{"id":36276,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2026\/04\/11\/storie-di-errori-memorabili-libro\/","url_meta":{"origin":36528,"position":0},"title":"Storie di errori memorabili (libro)","author":".mau.","date":"2026-04-11","format":false,"excerpt":"Ci sono vari tipi di errori, anche nella scienza.","rel":"","context":"In "rec 2026"","block_context":{"text":"rec 2026","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/recensioni\/recensioni-2026\/"},"img":{"alt_text":"copertina","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2026\/03\/9788858159248.jpg?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":5847,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2008\/03\/19\/messaggi_di_err\/","url_meta":{"origin":36528,"position":1},"title":"Messaggi di errore","author":".mau.","date":"2008-03-19","format":false,"excerpt":"Che pu\u00f2 consigliarti un sito che tratta di libri, quando \u00e8 sovraccarico?","rel":"","context":"In "curiosit\u00e0-2008"","block_context":{"text":"curiosit\u00e0-2008","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/curiosita\/curiosita-2008\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":36016,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2026\/02\/20\/errore-http-418\/","url_meta":{"origin":36528,"position":2},"title":"Errore HTTP 418","author":".mau.","date":"2026-02-20","format":false,"excerpt":"\"sono una teiera\"","rel":"","context":"In "curiosit\u00e0 2026"","block_context":{"text":"curiosit\u00e0 2026","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/curiosita\/curiosita-2026\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":25493,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2022\/12\/30\/poste-italiane-e-il-codice-bb1\/","url_meta":{"origin":36528,"position":3},"title":"Poste Italiane e il codice BB1","author":".mau.","date":"2022-12-30","format":false,"excerpt":"Oscurit\u00e0 (loro) e incomprensione (mia)","rel":"","context":"In "socialcosi e internet"","block_context":{"text":"socialcosi e internet","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/socialcosi\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":17061,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2018\/07\/15\/quizzino-della-domenica-errori\/","url_meta":{"origin":36528,"position":4},"title":"Quizzino della domenica: errori","author":".mau.","date":"2018-07-15","format":false,"excerpt":"Corinna, Quarto, Fiorenza e Pio hanno sostenuto un test, di quelli a cui bisogna scegliere la risposta esatta. Una risposta esatta vale un punto, una errata zero. Dopo la consegna dei risultati - non proprio eclatanti - i quattro hanno fatto i seguenti commenti: Corinna: In media abbiamo ottenuto la\u2026","rel":"","context":"In "giochi"","block_context":{"text":"giochi","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/giochi\/"},"img":{"alt_text":"errore!","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2018\/07\/q326a.png?resize=350%2C200","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":9497,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2013\/10\/11\/google_perde_i_\/","url_meta":{"origin":36528,"position":5},"title":"Google perde i pezzi?","author":".mau.","date":"2013-10-11","format":false,"excerpt":"Mi \u00e8 arrivata una mail in cui mi si comunica che Google vuole cambiare i termini d'uso delle sue Google Pages (in modo da poterle usare per farci pubblicit\u00e0 su, se ho ben capito). Mi viene dato un link a http:\/\/www.google.com\/policies\/terms\/preview\/changes\/ per vedere i cambiamenti: peccato che il link non\u2026","rel":"","context":"In "curiosita'"","block_context":{"text":"curiosita'","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/curiosita\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]}],"jetpack_likes_enabled":true,"jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/36528","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=36528"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/36528\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":36546,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/36528\/revisions\/36546"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=36528"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=36528"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=36528"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}