{"id":36458,"date":"2026-03-25T14:04:18","date_gmt":"2026-03-25T13:04:18","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=36458"},"modified":"2026-03-24T12:52:13","modified_gmt":"2026-03-24T11:52:13","slug":"somma-di-potenze-crescenti","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2026\/03\/25\/somma-di-potenze-crescenti\/","title":{"rendered":"Somma di potenze crescenti"},"content":{"rendered":"

Supponete di avere un numero, prendere cifra per cifra, elevarla alla potenza 1, 2, 3… e sommare tutti questi risultati. In certi casi si pu\u00f2 ottenere il numero iniziale: per esempio se partiamo da 89 e scriviamo \\( 8^1 + 9^2 = 8 + 81 = 89 \\). \u00c8 ovvio che i numeri di una sola cifra hanno questa propriet\u00e0; ma cos\u00ec \u00e8 troppo facile. \u00c8 abbastanza facile dimostrare che i numeri con questa propriet\u00e0 devono essere una quantit\u00e0 finita; per un numero \\( N \\) di \\( k \\) cifre deve infatti valere la doppia disuguaglianza \\( 10^{k\u22121} \u2264 N \u2264 9 + 9^2 + 9^3 + \u2026 9^k \\), e mentre la prima parte \u00e8 automatica la seconda quando si arriva a \\( k = 22 \\) non pu\u00f2 valere. Ma quanti sono questi numeri? Ce lo suggerisce come sempre OEIS<\/a>: l’elenco \u00e8 \\( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 89, 135, 175, 518, 598, 1306, 1676, 2427, 2646798 \\) seguito da <\/p>\n

\\( 12157692622039623539 = 1^1 + 2^2 + 1^3 + 5^4 + 7^5 + 6^6 + 9^7 + 2^8 + 6^9 + 2^{10} \\)
\n\\( \\qquad + 2^{11} + 0^{12} + 3^{13} + 9^{14} + 6^{15} + 2^{16} + 3^{17} + 5^{18} + 3^{19} + 9^{20}. \\) <\/p>\n

Trovate il problema e la soluzione qui<\/a><\/p>\n

Sono d’accordo, saperlo non serve a nulla. Al limite potrebbe essere interessante sapere come hanno fatto i conti, ma non sono riuscito a trovare una fonte; cos\u00ec ad occhio per i numeri fino al penultimo si \u00e8 andati avanti per forza bruta, poi si \u00e8 usato un algoritmo che fissato il numero di cifre da testare parte dall’ultima cifra, torna alla prima e poi va avanti. La cosa pi\u00f9 incredibile \u00e8 per\u00f2 che a parte i numeri “facili” e se volete 2646798 che comunque ha sette cifre, ce ne sia ancora uno solo e cos\u00ec grande. Questo \u00e8 un altro esempio di come in teoria dei numeri non possiamo mai fidarci che qualcosa “non capita per migliaia di miliardi di casi, quindi \u00e8 impossibile”…<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Una curiosit\u00e0 assolutamente inutile, ma carina. <\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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