{"id":36233,"date":"2026-03-11T04:51:30","date_gmt":"2026-03-11T03:51:30","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=36233"},"modified":"2026-03-08T19:01:11","modified_gmt":"2026-03-08T18:01:11","slug":"numeri-primoriali-e-compositoriali","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2026\/03\/11\/numeri-primoriali-e-compositoriali\/","title":{"rendered":"Numeri primoriali e compositoriali"},"content":{"rendered":"<p>Ok, il fattoriale di un numero naturale \\( n \\) \u00e8 il prodotto dei numeri da \\( 1 \\) a \\( n \\) e si indica con la notazione \\( n! \\). Questo immagino vi sia ben noto. Ma avete mai sentito parlare dei <a href=\"https:\/\/it.wikipedia.org\/wiki\/Primoriale\"><b>numeri primoriali<\/b><\/a>? Dato un numero naturale \\( n \\), il suo primoriale \\( n\\# \\) \u00e8 il prodotto dei numeri <b>primi<\/b> da \\( 1 \\) a \\( n \\). Questo ovviamente significa che per esempio il primoriale di 12 \u00e8 uguale a quello di 11 (e vale \\( 2 \\cdot 3 \\cdot 5 \\cdot 7 \\cdot 11 = 2310 \\)); in effetti c&#8217;\u00e8 anche chi afferma che i primoriali sono solo quelli relativi ai numeri primi, e li rappresenta quindi con \\( p_n\\# \\). In ogni caso, i primi primoriali distinti sono 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410. <\/p>\n<p>Non esiste una funzione continua che estende i primoriali, a differenza della funzione Gamma per il fattoriale; la colpa, per cos\u00ec dire, sta nel fatto che la distribuzione dei primi \u00e8 erratica. Se per\u00f2 prendiamo la funzione di \u010ceby\u0161\u00ebv \\( \\vartheta(x)=\\sum_{p\\le x} \\ln p \\), cio\u00e8 la somma dei logaritmi dei numeri primi inferiori a quello dato, sappiamo che \\( \\vartheta(n) \\approx n \\) e quindi  \\( n\\# \\approx e^{\\vartheta(n)} \\), per quello che pu\u00f2 servire. La cosa buffa \u00e8 che per \\( n \\lt 10^{11} \\) abbiamo  \\( n\\# \\lt e^n \\), ma sappiamo anche che ci sono sono infiniti intervalli di valori per cui invece \\( n\\# \\gt e^n \\). Quello che sappiamo al momento \u00e8 che \\(n\\#\\leq (2.763)^n\\) e per \\(>n \\ge 563\\) si ha che \\( n\\#\\geq (2.22)^n \\). Infine, se sommiamo gli inversi dei primoriali distinti otteniamo una costante: <\/p>\n<p>\\(\\sum_{p\\,\\text{primo}}  {1 \\over p\\#} = {1 \\over 2} + {1 \\over 6} + {1 \\over 30} + \\ldots = 0{.}7052301717918\\ldots \\), <\/p>\n<p>e che questo numero \u00e8 irrazionale (ma l&#8217;hanno dimostrato solo nel 2015&#8230; insomma non deve essere stato banale)<\/p>\n<p>Ci sono poi i <b>numeri compositoriali<\/b>, che sono quello che manca ai primoriali per arrivare ai fattoriali: il prodotto di tutti i numeri composti da \\( 1 \\) a \\( n \\). Che io sappia, non esiste un simbolo per definirli: si scrive semplicemente \\( n! \\over n\\# \\) e chi si \u00e8 visto si \u00e8 visto. I primi compositoriali distinti sono 1, 4, 24, 192, 1728, 17280, 207360, 2903040, 43545600, 696729600, 12541132800, 250822656000, 5267275776000, 115880067072000, 2781121609728000, 69528040243200000, 180772904632320000.<\/p>\n<p>Tutta questa pappardella mi \u00e8 servita per dire che il numero \\( 751882!\/751882\\# + 1 \\) <a href=\"https:\/\/t5k.org\/primes\/page.php?id=141301\">\u00e8 primo<\/a>: questo \u00e8 il pi\u00f9 grande numero &#8220;quasi compositoriale&#8221; conosciuto, con le sue 3765621 cifre. Nella pagina che ho linkato il denominatore \u00e8 \\( 751879\\# \\), ma per quanto detto sopra il valore \u00e8 lo stesso, e in questo modo si vede meglio che il numero differisce di 1 da un compositoriale. In genere \u00e8 difficile dimostrare la primalit\u00e0 di numeri di questo tipo, e per questo se ne conoscono di meno: per dire, quando \u00e8 stata certificata la sua primalit\u00e0 era il 109-simo pi\u00f9 grande numero primo conosciuto&#8230;<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>Perch\u00e9 i fattoriali sono troppo mainstream<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":3,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"federated","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1033,214],"tags":[],"class_list":["post-36233","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matelight-2026","category-matematica_light"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yV-9qp","jetpack-related-posts":[{"id":32770,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2025\/06\/11\/pi-greco-nei-triangoli-di-tartaglia-e-no\/","url_meta":{"origin":36233,"position":0},"title":"Pi greco nei triangoli (di Tartaglia e no)","author":".mau.","date":"2025-06-11","format":false,"excerpt":"due serie infinite che hanno come somma pi greco e che non sono molto note.","rel":"","context":"In &quot;mate-light-2025&quot;","block_context":{"text":"mate-light-2025","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2025\/"},"img":{"alt_text":"se si sommano gli inversi dei numeri cerchiati... 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