{"id":36180,"date":"2026-03-04T04:51:53","date_gmt":"2026-03-04T03:51:53","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=36180"},"modified":"2026-03-04T11:58:22","modified_gmt":"2026-03-04T10:58:22","slug":"i-dadi-di-sicherman","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2026\/03\/04\/i-dadi-di-sicherman\/","title":{"rendered":"I dadi di Sicherman"},"content":{"rendered":"

Lanciate due dadi: \u00e8 pi\u00f9 facile che otteniate 7 rispetto a 2 o 12. Questo dovrebbe esservi noto. Probabilmente vi sarete anche messi a fare una volta i conti, trovando che i vari valori da 2 a 12 possono essere ottenuti cos\u00ec:
\n 2: 1 modo (1+1)
\n 3: 2 modi (1+2) (2+1)
\n 4: 3 modi (1+3) (2+2) (3+1)
\n 5: 4 modi (1+4) (2+3) (3+2) (4+1)
\n 6: 5 modi (1+5) (2+4) (3+3) (4+2) (5+1)
\n 7: 6 modi (1+6) (2+5) (3+4) (4+3) (5+2) (6+1)
\n 8: 5 modi (2+6) (3+5) (4+4) (5+3) (6+2)
\n 9: 4 modi (3+6) (4+5) (5+4) (6+3)
\n10: 3 modi (4+6) (5+5) (6+4)
\n11: 2 modi (5+6) (6+5)
\n12: 1 modo (6+6)<\/p>\n

Vi siete mai chiesti se \u00e8 possibile avere due dadi diversi da quelli standard, ma che danno la stessa distribuzione di risultati? Naturalmente ci aspettiamo che su ogni faccia dei dadi ci sia almeno un puntino, e che il numero di puntini sia sempre un intero. La risposta \u00e8 affermativa, ma c’\u00e8 un solo altro modo di costruirli<\/a>, trovato da George Sicherman e reso noto da Martin Gardner nel 1978. I dadi hanno questi valori sulle facce: il primo (1, 2, 2, 3, 3, 4) e il secondo (1, 3, 4, 5, 6, 8). Si pu\u00f2 verificare facilmente che le combinazioni possibili sono queste:
\n 2: 1 modo (1+1)
\n 3: 2 modi (2+1) (2+1)
\n 4: 3 modi (1+3) (3+1) (3+1)
\n 5: 4 modi (1+4) (2+3) (2+3) (4+1)
\n 6: 5 modi (1+5) (2+4) (2+4) (3+3) (3+3)
\n 7: 6 modi (1+6) (2+5) (2+5) (3+4) (3+4) (4+3)
\n 8: 5 modi (2+6) (2+6) (3+5) (3+5) (4+4)
\n 9: 4 modi (1+8) (3+6) (3+6) (4+5)
\n10: 3 modi (2+8) (2+8) (4+6)
\n11: 2 modi (3+8) (3+8)
\n12: 1 modo (4+8)<\/p>\n

Come si possono trovare questi valori per i dadi? C’\u00e8 un trucco molto interessante in matematica: quello di usare le funzioni generatrici<\/a><\/b>. Una funzione generatrice \u00e8 un modo per “impacchettare” una successione di interi nei coefficienti di un polinomio fittizio. La funzione generatrice per un dado \u00e8 cos\u00ec \\( x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 \\), che rispecchia per l’appunto il fatto che i valori da 1 a 6 (i coefficienti da \\( x \\) a \\( x^6 \\) sono tutti 1. L’equivalente di lanciare due dadi \u00e8 moltiplicare questa funzione per s\u00e9 stessa: se ci pensate un attimo, infatti, i fattori \\( x^k \\) sono ottenuti dalle moltiplicazioni \\( x^h \\cdot x^l \\), dove \\( h + l = k \\); quindi \u00e8 proprio la definizione di funzione generatrice. Abbiamo cos\u00ec che il lancio di due dadi corrisponde alla funzione generatrice \\( (x + x^2 + x^3 + x^4 + x^5 + x^6)^2 \\), che si fattorizza come \\( (x(x+1)(x^2-x+1)(x^2+x+1))^2 \\). Il trucco \u00e8 ora quello di scrivere questo polinomio di dodicesimo grado come prodotto di due polinomi (i due dadi…) sapendo che ciascuno dei due polinomi deve avere un fattore \\( x \\) (altrimenti come otteniamo 2 = 1+1?), che i coefficienti siano tutti positivi (mica possiamo avere un numero negativo di facce con un certo numero di punti) e che la somma di tutti i coefficienti deve essere 6 (un dado ha sei facce). Per verificare la somma dei coefficienti basta calcolare il valore del polinomio per \\( x = 1 \\), ottenendo 1 per \\(x\\), 2 per \\(x + 1\\), 1 per \\(x^2 – x +1 \\) e 3 per \\(x^2 + x +1 \\). Abbiamo visto che i due fattori \\(x\\) stanno uno per polinomio; quindi anche i \\(x^2 + x +1 \\) devono essere separati o altrimenti un polinomio avrebbe somma dei coefficienti almeno 7. A questo punto anche i due \\(x + 1\\) devono essere separati per lo stesso motivo. Se separiamo anche i due \\(x^2 – x +1 \\) otteniamo i dadi di partenza; se invece li lasciamo insieme otteniamo i due polinomi \\( x + 2x^2 + 2x^3 + x^4 \\) e \\( x + x^3 + x^4 + x^5 + x^6 + x^8 \\) che sono effettivamente funzioni generatrici e corrispondono per l’appunto ai dadi di Sicherman. <\/p>\n

Non so se siete riusciti ad arrivare fino in fondo alla dimostrazione teorica: confesso che dovendo scrivere il post ho finalmente capito come funzionano le funzioni generatrici. Non \u00e8 mai troppo tardi… Fortunatamente non \u00e8 necessario tutto l’armamentario teorico per verificare che i dadi funzionano, ma basta il conto pratico visto sopra.<\/p>\n

Chiss\u00e0, magari si possono comprare dei dadi di Sicherman per stupire i nostri amici quando giochiamo…<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Due dadi che hanno la stessa distribuzione di risultati di quelli standard, ma i cui numeri sono diversi<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":3,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"federated","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1033,214],"tags":[],"class_list":["post-36180","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matelight-2026","category-matematica_light"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yV-9py","jetpack-related-posts":[{"id":29535,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2024\/08\/21\/dadi-non-transitivi\/","url_meta":{"origin":36180,"position":0},"title":"Dadi non transitivi","author":".mau.","date":"2024-08-21","format":false,"excerpt":"\u00c8 possibile costruire tre dadi non standard A, B, C tali per cui C sia migliore di A, A migliore di B e B migliore di C.","rel":"","context":"In "mate-light-2024"","block_context":{"text":"mate-light-2024","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2024\/"},"img":{"alt_text":"facce del dado A: quattro 5 e due 1; 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