{"id":34709,"date":"2025-12-10T22:22:38","date_gmt":"2025-12-10T21:22:38","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=34709"},"modified":"2025-12-11T14:49:41","modified_gmt":"2025-12-11T13:49:41","slug":"il-teorema-di-bayes-con-i-lego","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2025\/12\/10\/il-teorema-di-bayes-con-i-lego\/","title":{"rendered":"Il teorema di Bayes con i Lego"},"content":{"rendered":"

Il libro di Will Kurt \u201cBayesian Statistics the Fun Way<\/a>\u201d \u00e8 un’introduzione interessante alle finezze del teorema di Bayes e soprattutto al suo significato pratico. Per chi non si ricordasse la formula del teorema, \u00e8 questa: $$ P(A|B) = \\frac{P(B|A)\\cdot P(A)}{P(B)}$$ dove $P(A)$ indica la probabilit\u00e0 di un evento $A$ (chess\u00f2, ho il raffreddore) e $P(A|B)$ la probabilit\u00e0 dell’evento $A$ sapendo che c’\u00e8 stato l’evento $B$ (ho il raffreddore tutte le volte che il giorno prima \u00e8 piovuto). Se proprio non vi resta in mente la formula, vi svelo un trucchetto: immaginando che tutte le probabilit\u00e0 in gioco siano maggiori di zero – anche perch\u00e9 altrimenti non c’\u00e8 molto da calcolare… – si pu\u00f2 scrivere la formula come $$ P(A|B) \\cdot P(B) = P(B|A) \\cdot P(A)$$, che \u00e8 pi\u00f9 simmetrica. In ogni caso, noi cerchiamo di aggiornare la probabilit\u00e0 del nostro evento $A$ (che avevamo a priori) una volta che abbiamo una nuova informazione $B$ (che per definizione conosciamo), e lo facciamo rovesciando la logica, cio\u00e8 sapendo qual \u00e8 la probabilit\u00e0 di $B$ nota $A$. <\/p>\n

Come dicevo, Will Kurt fa un esempio con il Lego, esempio che trovate in questo suo vecchio post<\/a> e che ora vi racconto. Partiamo con alcuni mattoncini ($1 \\times 1$, anche se i pezzi in realt\u00e0 sono pi\u00f9 grandi, ma non so come chiamare l’unit\u00e0 minimale) come in figura:<\/p>\n

\"lo<\/p>\n

Abbiamo una superficie $6 \\times 10$ di mattoncini di tre colori, che rappresentano il nostro spazio di probabilit\u00e0: c’\u00e8 un rettangolo $4 \\times 10$ blu, uno $2\\times 10$ rosso e uno $3 \\times 2$ giallo posato sopra gli altri due (purtroppo con le mie capacit\u00e0 grafiche \u00e8 difficile mostrarlo bene, ma il fatto che siano leggermente spostati sulla destra dovrebbe essere un indizio). Calcolando le probabilit\u00e0 dello strato di base, abbiamo $P(\\rm{blu}) = \\frac{2}{3}$ e $P(\\rm{rosso}) = \\frac{1}{3}$. Chiaramente $P(\\rm{blu}) + P(\\rm{rosso}) = 1$, visto che lo strato di base ha solo mattoncini blu e rossi.<\/p>\n

Ora entrano in scena i mattoncini gialli. \u00c8 vero che $P(\\rm{giallo}) = \\frac{1}{10}$, perch\u00e9 ci sono sei mattoncini gialli su 60. Ma nel nostro spazio degli eventi noi non consideriamo l’evento “c’\u00e8 un mattoncino giallo”, anche perch\u00e9 altrimenti la probabilit\u00e0 totale sarebbe maggiore di 1. Ripeto: gli eventi per noi sono solo quello che si trova sullo strato di base. Consideriamo ora la probabilit\u00e0 condizionata di avere un mattoncino giallo sopra uno blu oppure rosso, indicandola come $P(\\rm{giallo\\!|\\! blu})$ o $P(\\rm{giallo\\!|\\! rosso})$ rispettivamente. Come possiamo calcolare $P(\\rm{giallo\\!|\\! rosso})$? Semplice: separiamo il blu dal rosso e consideriamo solo la parte rossa, come in figura. Abbiamo che l’area rossa \u00e8 come prima $2\\times 10 = 20$, quella gialla \u00e8 $2\\times 2 = 4$, e pertanto $P(\\rm{giallo\\!|\\! rosso}) = \\frac{4}{20} = \\frac{1}{5}$.<\/p>\n

\"Ora<\/p>\n

E se invece volessimo calcolare $P(\\rm{rosso\\!|\\! giallo})$? Banale, mi direte. Ci sono sei mattoncini gialli di cui quattro sono sopra il rosso: se dall’alto vediamo un mattoncino giallo sappiamo che la probabilit\u00e0 che sotto ce ne sia uno rosso \u00e8 $\\frac{2}{3}$. Non ci crederete, ma questo \u00e8 proprio il teorema di Bayes! Intuitivamente, insomma, il teorema non \u00e8 niente di che, e possiamo anche intuire che il reverendo Bayes lo considerasse talmente ovvio da non scriverne nemmeno. Vediamo ora come tirare fuori la formula mostrata all’inizio, formalizzando la nostra intuizione. <\/p>\n

Partiamo calcolando il numero di mattoncini gialli a partire dalla probabilit\u00e0 di trovarli: <\/p>\n

$$ \\rm{NumGialli} = P(\\rm{giallo}) \\cdot \\rm{TotNum} = \\frac{1}{10} \\cdot 60 = 6 $$<\/p>\n

Cosa vuol dire “Quattro mattoncini gialli sono sul rosso”? Per prima cosa dobbiamo calcolare quanti sono i mattoncini rossi, con una formula simile a quella sopra:<\/p>\n

$$ \\rm{NumRossi} = P(\\rm{rosso}) \\cdot \\rm{TotNum} = \\frac{1}{3} \\cdot 60 = 20 $$<\/p>\n

Sappiamo poi che il rapporto dei mattoncini gialli sopra quelli rossi \u00e8 $P(\\rm{giallo| rosso})$; moltiplicandolo per il numero dei mattoncini rossi troviamo quanti sono i mattoncini gialli sui rossi:<\/p>\n

$$ \\rm{NumGialliSuiRossi} = P(\\rm{giallo | rosso}) \\cdot \\rm{NumRossi} = \\frac{1}{5} \\cdot 20 = 4 $$<\/p>\n

Infine dobbiamo calcolare il rapporto tra i mattoncini rossi coperti da quelli gialli e il totale di quelli gialli: <\/p>\n

$$ P(\\rm{rosso | giallo}) = \\frac{\\rm{NumGialliSuiRossi}}{\\rm{NumGialli}} = \\frac{4}{6} = \\frac{2}{3} $$<\/p>\n

Da qui possiamo usare le tre formule precedenti per scrivere i due termini della frazione usando le probabilit\u00e0 e il numero totale di mattoncini; quest’ultimo fa il piacere di eliminarsi e otteniamo il teorema di Bayes. Diciamocelo, per\u00f2: la formalizzazione non \u00e8 cos\u00ec facile da vedere, ed \u00e8 forse per questo che il teorema rimane spesso piuttosto oscuro, anche se come abbiamo visto non c’\u00e8 nulla di davvero complicato. <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Magari \u00e8 un po’ pi\u00f9 semplice da seguire, no? <\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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