Come sapete, la costante \uab32 ≅ 2,71828… se la gioca alla pari con π nel campionato per il numero che appare pi\u00f9 spesso nelle formule matematiche. A differenza del pi greco, per\u00f2, \uab32 \u00e8 pi\u00f9 facile da gestire, non tanto perch\u00e9 \u00e8 il limite per $n$ tendente all’infinito dell’espressione $(1 + 1\/n)^n$ (la definizione usuale) quanto perch\u00e9 \u00e8 la somma della serie $ \\frac{1}{0!} + \\frac{1}{1!} + \\frac{1}{2!} + \\frac{1}{3!} + \\frac{1}{4!} + \\cdots $ che ha due vantaggi: \u00e8 facile da scrivere e converge molto rapidamente. Ci sono anche altre rappresentazioni interessanti di \uab32, come la forma in frazione continua [1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, …] che ha permesso a Eulero di dimostrare che \u00e8 un numero irrazionale. Non \u00e8 per\u00f2 immediato ricavare questo sviluppo; in compenso esiste una dimostrazione relativamente semplice, dovuta a Joseph Fourier (s\u00ec, quel<\/i> Fourier) dell’irrazionalit\u00e0 di \uab32. Eccola qua.<\/p>\n
Cominciamo a considerare queste due successioni infinite (o meglio, la collezione di successioni infinite per ogni valore di $n$): <\/p>\n
$$ a_n = \\frac{1}{n+1} + \\frac{1}{(n+1)(n+2)} + \\frac{1}{(n+1)(n+2)(n+3)} + \\cdots $$
\n$$ b_n = \\frac{1}{n+1} + \\frac{1}{(n+1)^2} + \\frac{1}{(n+1)^3} + \\cdots $$<\/p>\n
\u00c8 immediato vedere che la successione $b_n$ \u00e8 una progressione geometrica, e quindi il suo valore \u00e8 $\\frac{1}{n}$; d’altra parte, ogni termine di $a_n$ tranne il primo \u00e8 minore a quello corrispondente di $b_n$ mentre il primo \u00e8 uguale, e quindi $ 0 < a_n < \\frac{1}{n} $. Adesso viene il bello. Prendiamo la definizione di \uab32 come somma infinita e moltiplichiamola per $n!$. I primi $n$ termini del risultato sono tutti interi, mentre la somma di quelli che rimangono, dopo avere tolto $n!$ a denominatore, corrisponde proprio a $a_n$ e quindi \u00e8 compresa tra 0 e 1. Possiamo riscrivere questo risultato dicendo \n\n$$ a_n = n!\uab32 - \\textrm{int}(n!\uab32)$$\n\nLa dimostrazione \u00e8 praticamente terminata. Supponiamo infatti per assurdo che \uab32 sia razionale, e quindi possiamo scrivere $\uab32 = \\frac{k}{m}$, con $k$ e $m$ interi. Ma allora $m!\uab32$ \u00e8 intero, e dunque $ (m!\uab32) = \\textrm{int}(m!\uab32)$, il che \u00e8 impossibile perch\u00e9 sappiamo che tutti gli $a_n$ sono maggiori di zero. QED.\n\nCosa possiamo ricavare da questa dimostrazione? Che Fourier era uno che ne sapeva: a me non sarebbe mai venuto in mente un percorso del genere. Col senno di poi per\u00f2 si pu\u00f2 forse intuire cosa sia venuto in mente a Fourier. Il fatto che i termini della successione infinita tendono a zero molto, molto<\/i> rapidamente ci fa capire che non hai spazio per riuscire a mettere insieme tutti i coefficienti dei denominatori per arrivare a un numeratore multiplo di essi; \u00e8 un po’ la stessa idea che ebbe Liouville quando costru\u00ec esplicitamente il primo numero che si poteva dimostrare essere trascendente. Il bello di questa dimostrazione \u00e8 comunque che possiamo tranquillamente spiegarla a uno studente liceale, una volta dato per assodato qual \u00e8 lo sviluppo in serie infinita di \uab32; non \u00e8 che siano cose che capitino tutti i giorni!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Una dimostrazione alla portata di uno studente liceale.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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