{"id":34475,"date":"2025-11-30T04:51:58","date_gmt":"2025-11-30T03:51:58","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=34475"},"modified":"2025-11-20T17:37:26","modified_gmt":"2025-11-20T16:37:26","slug":"quizzino-della-domenica-numeri-di-fermat","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2025\/11\/30\/quizzino-della-domenica-numeri-di-fermat\/","title":{"rendered":"Quizzino della domenica: Numeri di Fermat"},"content":{"rendered":"<p style=\"text-align:right;font-size:x-small;font-weight:bold;font-color:white\">776 &#8211; algebra<\/p>\n<p>I numeri di Fermat sono quelli della forma <i>F<\/i><sub><i>n<\/i><\/sub> = 2^(2^<i>n<\/i>)) + 1. Una congettura di Fermat affermava che se <i>n<\/i> \u00e8 primo, allora <i>F<\/i><sub><i>n<\/i><\/sub> \u00e8 primo (&#8220;numero primo di Fermat&#8221;). I primi numeri in effetti lo sono: <i>F<\/i><sub>0<\/sub> = 3, <i>F<\/i><sub>1<\/sub> = 5, <i>F<\/i><sub>2<\/sub> = 17, <i>F<\/i><sub>3<\/sub> = 257, <i>F<\/i><sub>4<\/sub> = 65537. Peccato che non si conosca nessun altro primo di Fermat. Ma non \u00e8 questo il problema di oggi. Dimostrate che vale sempre l&#8217;uguaglianza <i>F<\/i><sub>0<\/sub><i>F<\/i><sub>1<\/sub><i>F<\/i><sub>2<\/sub>&#8230;<i>F<\/i><sub><i>k<\/i>&minus;1<\/sub> = <i>F<\/i><sub><i>k<\/i><\/sub> &minus; 2.<\/p>\n<p><!-- Induzione, e che altro? --><br \/>\n<img data-recalc-dims=\"1\" loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/11\/q776a.png?resize=489%2C143&#038;ssl=1\" alt=\"F_n = 2^(2^n) + 1\" width=\"489\" height=\"143\" class=\"aligncenter size-full wp-image-34477\" srcset=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/11\/q776a.png?w=489&amp;ssl=1 489w, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/11\/q776a.png?resize=300%2C88&amp;ssl=1 300w\" sizes=\"auto, (max-width: 489px) 100vw, 489px\" \/><br \/>\n<small>(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina <a href=\"https:\/\/xmau.com\/quizzini\/p776.html\">https:\/\/xmau.com\/quizzini\/p776.html<\/a>; la risposta verr\u00e0 postata l\u00ec il prossimo mercoled\u00ec. Problema 28 da Stephen Siklos, <i>Advanced Problems in Mathematics<\/i>.)<\/small><br \/>\n<!-- Per <i>k<\/i> = 1 abbiamo 3&times;5 + 2 = 17, per <i>k<\/i> = 2 abbiamo 3&times;5&times;17 + 2 = 257. Possiamo usare questi come base per l'induzione. Nel caso generale, abbiamo <i>F<\/i><sub>0<\/sub><i>F<\/i><sub>1<\/sub><i>F<\/i><sub>2<\/sub>...<i>F<\/i><sub><i>k<\/i><\/sub> = (<i>F<\/i><sub>0<\/sub><i>F<\/i><sub>1<\/sub><i>F<\/i><sub>2<\/sub>...<i>F<\/i><sub><i>k<\/i>&minus;1<\/sub>)<i>F<\/i><sub><i>k<\/i><\/sub> = (<i>F<\/i><sub><i>k<\/i><\/sub> &minus;2)<i>F<\/i><sub><i>k<\/i><\/sub> = (2^(2^<i>k<\/i>) &minus; 1)(2^(2^<i>k<\/i>) + 1) = (2^(2^<i>k<\/i>))^2 &minus; 1 = (2^(2^(<i>k<\/i>+1))) &minus; 1 = <i>F<\/i><sub><i>k<\/i>+1<\/sub> &minus; 2. --><\/p>\n<p><!-- Dato questo risultato, possiamo dimostrare come corollario che i numeri primi sono infiniti. Per prima cosa mostriamo che due numeri di Fermat distinti sono primi tra loro. Se abbiamo che <i>F<\/i><sub><i>m<\/i><\/sub> e <i>F<\/i><sub><i>n<\/i><\/sub>, con <i>m<\/i> &le; <i>n<\/i>, hanno un fattore comune <i>p<\/i> allora <i>p<\/i> divide <i>F<\/i><sub>0<\/sub><i>F<\/i><sub>1<\/sub><i>F<\/i><sub>2<\/sub>...<i>F<\/i><sub><i>m<\/i>&minus;1<\/sub> e quindi anche <i>F<\/i><sub><i>m<\/i><\/sub> &minus; 2. Ma questo \u00e8 impossibile perch\u00e9 l'unico primo che potrebbe dividere <i>F<\/i><sub><i>m<\/i><\/sub> &minus; 2 e <i>F<\/i><sub><i>m<\/i><\/sub> sarebbe 2, ma i numeri di Fermat sono tutti dispari. A questo punto, ciascun numero naturale pu\u00f2 essere scritto come prodotto di numeri primi; ma poich\u00e9 i numeri di Fermat sono sempre primi tra loro ciascun numero primo pu\u00f2 apparire al pi\u00f9 in un numero di Fermat. Poich\u00e9 questi sono infiniti, anche i numeri primi devono esserlo.  Per la cronaca, questa dimostrazione si deve a Goldbach. --><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>776 &#8211; algebra I numeri di Fermat sono quelli della forma Fn = 2^(2^n)) + 1. Una congettura di Fermat affermava che se n \u00e8 primo, allora Fn \u00e8 primo (&#8220;numero primo di Fermat&#8221;). 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