{"id":34428,"date":"2025-11-19T04:51:55","date_gmt":"2025-11-19T03:51:55","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=34428"},"modified":"2025-11-18T22:45:57","modified_gmt":"2025-11-18T21:45:57","slug":"1-4-1-16-1-64-1-256-%e2%8b%af","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2025\/11\/19\/1-4-1-16-1-64-1-256-%e2%8b%af\/","title":{"rendered":"1\/4 + 1\/16 + 1\/64 + 1\/256 + \u22ef"},"content":{"rendered":"

\"la<\/a> La successione infinita mostrata qui sopra \u00e8 stata probabilmente la prima ad essere sommata. Naturalmente l’artefice di questo risultato \u00e8 stato Archimede, l’unico matematico dell’antichit\u00e0 che non aveva paura di trattare con quantit\u00e0 infinite. Questo risultato gli serviva per quadrare la parabola; chiaramente la dimostrazione formale che fece per la quadratura sfrutt\u00f2 il metodo di esaustione di Eudosso, ma per quanto riguarda la somma il siracusano mostr\u00f2 la figura qui raffigurata. Il quadrato grande di lato 1 \u00e8 diviso in quattro parti uguali: una \u00e8 colorata (e quindi ha area 1\/4), due sono bianche, la quarta \u00e8 divisa a sua volta allo stesso modo, con un quadrato colorato di area 1\/16, due quadrati bianchi della stessa area e un quarto quadrato da dividere a sua volta. In definitiva, alla parte colorata corrispondono due parti identiche non colorate, e tutte assieme riempiono il quadrato: pertanto l’area complessiva delle parti colorate \u00e8 1\/3.<\/p>\n

Ok, in realt\u00e0 non \u00e8 proprio cos\u00ec: come spiega la voce di Wikipedia<\/a>, Archimede dimostr\u00f2 che la somma 3\/4 + 3\/16 + 3\/64 + 3\/256 + \u22ef si avvicina quanto si vuole a 1. (Sempre esaustione, claro). Nella sua dimostrazione il quadrato colorato e i due non colorati formano uno gnomone, cio\u00e8 una figura a L; l’insieme di tutti gli gnomoni riempiono il quadrato.<\/p>\n

\"un<\/a>
Immagine di Kilom69, da Wikimedia Commons<\/a><\/figcaption><\/figure> Ma la cosa forse pi\u00f9 bella \u00e8 che non \u00e8 necessario usare i quadrati per mostrare che la somma in questione vale 1\/3. Come potete vedere nella figura qui a fianco, \u00e8 possibile prendere un triangolo equilatero e scomporlo in modo tale da avere la stessa suddivisione. Quale delle due scomposizioni \u00e8 la migliore? Per quanto mi riguarda, la risposta \u00e8 “entrambe”; ciascuna costruzione \u00e8 infatti interessante, e visualmente chiara. Il bello di queste dimostrazioni senza parole \u00e8 proprio questo: capire un risultato senza dover fare conti (in questo caso bisogna saper contare fino a tre, ma direi che ce la possiamo fare…)<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Una serie geometrica infinita che Archimede \u00e8 riuscito a sommare… con un disegno<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":3,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"federated","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1005,214],"tags":[],"class_list":["post-34428","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matelight-2025","category-matematica_light"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yV-8Xi","jetpack-related-posts":[{"id":29714,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2024\/09\/29\/quizzino-della-domenica-cotillon\/","url_meta":{"origin":34428,"position":0},"title":"Quizzino della domenica: Cotillon","author":".mau.","date":"2024-09-29","format":false,"excerpt":"Nella figura qui sotto vedete una specie di triangolo curvo ottenuto inscrivendo un cerchio in un quadrato, tracciando due segmenti da due punti consecutivi in cui le figure si toccano verso il vertice pi\u00f9 lontano, e colorando la parte all'interno di questi segmenti e del cerchio. 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