{"id":34222,"date":"2025-11-16T04:51:26","date_gmt":"2025-11-16T03:51:26","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=34222"},"modified":"2025-11-16T22:37:14","modified_gmt":"2025-11-16T21:37:14","slug":"quizzino-della-domenica-frazioni-egizie","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2025\/11\/16\/quizzino-della-domenica-frazioni-egizie\/","title":{"rendered":"Quizzino della domenica: Frazioni egizie"},"content":{"rendered":"<p style=\"text-align:right;font-size:x-small;font-weight:bold;font-color:white\">774 &#8211; algebra<\/p>\n<p>Gli antichi egizi scrivevano le frazioni come somma di frazioni della forma 1\/<i>n<\/i>, dove i denominatori erano tutti diversi; le frazioni di quella forma sono dette frazioni egizie. Per esempio, 2\/7 veniva espresso come 1\/4 + 1\/28. Di per s\u00e9 ci sono infiniti modi di scrivere una frazione in forma egizia: dimostrate per\u00f2 che se <i>p<\/i> \u00e8 un numero primo c&#8217;\u00e8 un solo modo per scrivere 1\/<i>p<\/i> e 2\/<i>p<\/i> (con <i>p<\/i> maggiore di 2) come somma di due frazioni egizie (con denominatori diversi), notando che 1\/<i>p<\/i> = 1\/<i>a<\/i> + 1\/<i>b<\/i> pu\u00f2 essere scritto come (<i>a<\/i>&minus;<i>p<\/i>)(<i>b<\/i>&minus;<i>p<\/i>) = <i>p<\/i>&sup2;<br \/>\n<img data-recalc-dims=\"1\" loading=\"lazy\" decoding=\"async\" src=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/11\/q774a.png?resize=481%2C66&#038;ssl=1\" alt=\"2\/7 = 1\/4 + 1\/28\" width=\"481\" height=\"66\" class=\"aligncenter size-full wp-image-34223\" srcset=\"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/11\/q774a.png?w=642&amp;ssl=1 642w, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/11\/q774a.png?resize=300%2C41&amp;ssl=1 300w, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/11\/q774a.png?resize=624%2C86&amp;ssl=1 624w\" sizes=\"auto, (max-width: 481px) 100vw, 481px\" \/><br \/>\n<!-- Fattorizzate p&sup2; --><br \/>\n<small>(trovate un aiutino sul mio sito, alla pagina <a href=\"https:\/\/xmau.com\/quizzini\/p774.html\">https:\/\/xmau.com\/quizzini\/p774.html<\/a>; la risposta verr\u00e0 postata l\u00ec il prossimo mercoled\u00ec. Problema 11 da Stephen Siklos, <i>Advanced Problems in Mathematics<\/i>.)<\/small><br \/>\n<!-- Cominciamo col mostrare che esiste almeno un modo di ottenere 1\/<i>p<\/i> some somma di due frazioni egizie. Il primo addendo che si pu\u00f2 testare \u00e8 1\/(<i>p<\/i>+1); se sottraiamo questo valore da 1\/<i>p<\/i> otteniamo 1\/<i>p<\/i>(<i>p<\/i>+1), e quindi la scomposizione esiste. Prendiamo ora l'uguaglianza indicata nel testo, (<i>a<\/i>&minus;<i>p<\/i>)(<i>b<\/i>&minus;<i>p<\/i>) = <i>p<\/i>&sup2;. I fattori di <i>p<\/i>&sup2; sono 1, <i>p<\/i> e <i>p<\/i>&sup2;; pertanto i due fattori a sinistra possono essere solo 1 e <i>p<\/i>&sup2; oppure <i>p<\/i> e <i>p<\/i>. Il secondo caso si elimina perch\u00e9 renderebbe identici <i>a<\/i> e <i>b<\/i>; il primo d\u00e0 la decomposizione voluta.\nPer il caso 2\/<i>p<\/i>, scriviamo subito  2\/<i>p<\/i> = 1\/<i>a<\/i> + 1\/<i>b<\/i> come (2<i>a<\/i>&minus;<i>p<\/i>)(2<i>b<\/i>&minus;<i>p<\/i>) = <i>p<\/i>&sup2;. Come nel caso precedente abbiamo (2<i>a<\/i>&minus;<i>p<\/i>) = <i>p<\/i>&sup2; e (2<i>b<\/i>&minus;<i>p<\/i>) = 1 (o viceversa), e quindi ricaviamo la decomposizione \n\n\n\n<p style=\"text-align:center;\">2\/<i>p<\/i> = 1\/&frac12;(<i>p<\/i>&sup2;+<i>p<\/i>)  + 1\/&frac12;(<i>p<\/i>+1)<\/p>\n\n\n\nA prima vista i denominatori non sono numeri interi, ma poich\u00e9 <i>p<\/i> \u00e8 un primo dispari per ipotesi i fattori sono entrambi pari, e quindi anche dimezzandoli si ha un intero. --><br \/>\n<!-- Ci sono molte congetture non ancora risolte sulle frazioni egizie. Quella di Erd\u0151s-Straus afferma che una frazione 4\/<i>n<\/i> pu\u00f2 sempre essere scritta come somma di tre frazioni egizie: 1\/<i>a<\/i> + 1\/<i>b<\/i> + 1\/<i>c<\/i>. La congettura \u00e8 stata testata per tutti i numeri fino a 10<sup>14<\/sup>, ma non si ha una dimostrazione. --><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"<p>774 &#8211; algebra Gli antichi egizi scrivevano le frazioni come somma di frazioni della forma 1\/n, dove i denominatori erano tutti diversi; le frazioni di quella forma sono dette frazioni egizie. Per esempio, 2\/7 veniva espresso come 1\/4 + 1\/28. 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