{"id":33876,"date":"2025-10-01T17:11:41","date_gmt":"2025-10-01T15:11:41","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=33876"},"modified":"2025-10-02T11:19:36","modified_gmt":"2025-10-02T09:19:36","slug":"base-fibonacci-insieme-di-shevelev-e-congettura-di-kimberling","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2025\/10\/01\/base-fibonacci-insieme-di-shevelev-e-congettura-di-kimberling\/","title":{"rendered":"Base Fibonacci, insieme di Shevelev e congettura di Kimberling"},"content":{"rendered":"

Se seguivate il mio vecchio blog sul Post (quando il Post aveva i blog…) sapete sicuramente della base di numerazione φ<\/a>. Come in base 10 un numero come 42,5 equivale a 4×101<\/sup> + 2×100<\/sup> + 5×10−1<\/sup>, in base φ un numero come 1000.1001 equivale a φ3<\/sup> + φ−1<\/sup> + φ −4<\/sup>, che in base 10 equivale a 5. Ci sono molte rappresentazioni possibili per un numero in base φ; per convenzione si sceglie come forma canonica quella che non ha due cifre 1 consecutive (lo si pu\u00f2 sempre fare, ricordando che $ \\varphi^n + \\varphi^{n+1} = \\varphi^{n+2)}$).<\/p>\n

Riguardo alla base φ, Richard Green segnala<\/a> una curiosit\u00e0, raccontata nel paper di Jeffrey Shallit e Ingrid Vukusic New properties of the \u03c6-representation of integers<\/a>. Consideriamo l’insieme degli interi che in base φ sono “antipalindromi”, dove cio\u00e8 se c’\u00e8 la cifra 1 in posizione $k$ c’\u00e8 anche la cifra 1 in posizione $-k$. Per esempio, 1 \u00e8 antipalindromo, perch\u00e9 $1_{10} = 1_{\\varphi}$, e l’unica cifra 1 \u00e8 in posizione 0 che \u00e8 l’opposto di s\u00e9 stessa; 2 non lo \u00e8, perch\u00e9 $2_{10} = 10,01_{\\varphi}$ e anche se il numero pare simmetrico non lo \u00e8 (le posizioni con 1 sono 1 e −2); 3 lo \u00e8 perch\u00e9 $3_{10} = 100,01_{\\varphi}$ e le posizioni con 1 sono la 2 e la −2. L’insieme dei numeri naturali che sono antipalindromi in base φ comincia con 1, 3, 4, 7, 8, 10, 11, 18, 19, 21, 22, 25, 26, 28, 29, 47, … e naturalmente si trova su OEIS<\/a>, prendendo il nome di Vladimir Shevelev che l’ha studiato per primo nel 2010. Bene: due anni dopo Clark Kimberling si \u00e8 accorto che i numeri nell’insieme di Shevelev avevano la propriet\u00e0 che raddoppiando tutti gli esponenti nella sua notazione in base φ si otteneva un altro numero naturale, cosa che a prima vista non era ovvia: per esempio, 10 \u00e8 $10100,0101+{\\phi}$ e $10010000,00010001+{\\phi}$ = 54. Allo stesso tempo, se un numero non \u00e8 nell’insieme di Shevelev raddoppiando tutti gli esponenti non si ottiene un intero: per esempio 9 \u00e8 $10010,0101_{\\phi}$ mentre $10000100,00010001_{\\phi} = (52 – \\sqrt{5})_{10}$. <\/p>\n

Bene: Shallit e Vukusic sono riusciti a dimostrare la congettura di Kinberling. La dimostrazione tra l’altro non \u00e8 nemmeno troppo difficile. Hanno infatti sfruttato i numeri di Lucas (una variante dei numeri di Fibonacci, dove non si parte da {1,1} ma da {3,1} per la definizione ricorsiva) per dimostrare che i numeri antipalindromi sono tutti e soli quelli che hanno solo esponenti pari nella rappresentazione in base φ. Non so voi, ma tutto questo mi pare incredibile…<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Un’ennesima strana caratteristica dei numeri di Fibonacci<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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