k<\/sup>+1. Voi come lo dimostrereste? Qui c’\u00e8 il mio approccio (non ho letto l’articolo citato sul NYT, ma mi stupirei se la dimostrazione fosse essenzialmente diversa dalla mia).<\/p>\n
\nLa mia dimostrazione comincia con il caso n<\/i> = 4. (Il caso n<\/i> = 2 \u00e8 vero per definizione.) Invece che i tre colori, difficili da gestire matematicamente, uso i numeri 0, 1, 2; la regola per calcolare il numero da inserire sotto la coppia $a, b$ \u00e8 dato da $a \u2295 b = -(a+b) \\mod 3$. Se abbiamo nella prima riga i valori $a, b, c, d$ quelli della seconda riga (modulo 3, come per le righe seguenti) saranno $-(a+b), -(b+c), -(c+d)$; la terza riga avr\u00e0 $a+2b+c, b+2c+d$ e l’elemento dell’ultima riga sar\u00e0 $-(a+3b+3c+d)$. Ma $3b \\mod 3 = 3c \\mod 3 = 0$, quindi l’elemento sar\u00e0 $-(a+d)$ che \u00e8 esattamente $a \u2295 d$. Per il caso generale, possiamo “esplodere” un triangolo di lato 3k<\/sup>+1 collocando due cerchi di un colore qualunque tra ciascuna coppia di cerchi di ogni riga e facendo i passaggi corrispondenti per scendere alla riga di sotto: per quanto abbiamo appena visto, tutti queste aggiunte sono ininfluenti, e quindi il risultato \u00e8 quello voluto. <\/p>\nSe qualcuno si chiedesse come sia arrivato a trovare questa operazione algebrica, la risposta \u00e8 semplice. Avevo il grande vantaggio di conoscere gi\u00e0 il risultato; lavorare modulo 3 \u00e8 poi ovvio visto che abbiamo solo a disposizione tre colori. Ho scritto le sei possibilit\u00e0 essenzialmente diverse di accoppiare due numeri in ${0, 1, 2}$, le ho guardate, ho ricavato la regola e trovato poi un modo per descriverla formalmente. Mi sono insomma sporcato un po’ le mani con i conti, ma quella \u00e8 sempre stata una mia cifra stilistica, proprio come il lavorare molto con relazioni ricorsive, forse a causa della mia matrice che \u00e8 anche informatica. Mi sarei accorto della propriet\u00e0 se non ne avessi sentito parlare? Probabilmente no, a meno che non avessi molto tempo da perdere, nel qual caso sarei comunque arrivato alla soluzione. Per\u00f2 il bello della matematica \u00e8 (anche) trovare per caso cose e poi vedere che deve essere per forza cos\u00ec, non lo pensate anche voi?<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
Il triangolo di lato 10 mostrato nella figura qui sotto ha la prima riga con i cerchi colorati di rosso, giallo o blu. Non sono colorati proprio a caso: ho preso le prime cifre decimali di pi greco e usato il rosso se sono uguali a 0 modulo 3, in giallo se sono 1 mod […]<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":3,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"federated","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1005,214],"tags":[],"class_list":["post-33263","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matelight-2025","category-matematica_light"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yV-8Ev","jetpack-related-posts":[{"id":24463,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2022\/07\/10\/quizzino-della-domenica-tre-cerchi-compenetrati\/","url_meta":{"origin":33263,"position":0},"title":"Quizzino della domenica: Tre cerchi compenetrati","author":".mau.","date":"2022-07-10","format":false,"excerpt":"Tre cerchi dello stesso raggio (4 cm) sono disegnati come in figura: due di loro sono tangenti in un punto e il terzo passa per i centri degli altri due. 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Notate che la regola non funziona sempre: nel triangolo di lato 3 mostrato qui a destra \u00e8 immediato notare che se il cerchio in mezzo nella prima riga fosse blu e non giallo allora quello in bssso sarebbe giallo e non blu. Con il lato 2 e quello 4 invece funziona, cos\u00ec come con il lato 10: pi\u00f9 in generale Behrends ha mostrato che perch\u00e9 valga quella propriet\u00e0 il lato del triangolo deve essere della forma 3k<\/sup>+1. Voi come lo dimostrereste? Qui c’\u00e8 il mio approccio (non ho letto l’articolo citato sul NYT, ma mi stupirei se la dimostrazione fosse essenzialmente diversa dalla mia).<\/p>\n