{"id":33183,"date":"2025-07-30T04:51:35","date_gmt":"2025-07-30T02:51:35","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=33183"},"modified":"2025-07-24T13:01:36","modified_gmt":"2025-07-24T11:01:36","slug":"1-2-4-8-1","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2025\/07\/30\/1-2-4-8-1\/","title":{"rendered":"1 + 2 + 4 + 8 + … = -1"},"content":{"rendered":"

Dopo la manipolazione delle serie infinite della scorsa settimana<\/a>, eccovene un’altra che vi lascer\u00e0 sicuramente perplessi. Prendiamo la somma infinita 1 + 2 + 4 + 8 + …, dove ogni termine \u00e8 il doppio del precedente. Qual \u00e8 la sua somma? Non sembrano esserci dubbi; tutti i termini sono positivi, ciascuno \u00e8 maggiore del precedente, se ci fermiamo all’n-simo termine la somma parziale \u00e8 2n+1<\/sup>−1… insomma la somma \u00e8 infinita. Anche se facciamo la somma di Cesaro<\/a>, quella che ci permette di dire che la somma della serie non assolutamente convergente 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − … \u00e8 1\/2 (non ve ne ho mai parlato?) la somma della nostra serie originale \u00e8 infinita. Eppure… <\/p>\n

Eppure Eulero aveva fatto questo ragionamento. Immaginiamo che questa somma abbia un valore $S$. Avremmo allora per definizione $S = 1 + 2 + 4 + 8 + …$, e quindi $2S = 2 + 4 + 8 + 16 + …$. Se ora sommiamo 1 a entrambi i membri dell’equazione otteniamo $2S + 1 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … = S$. Spostando le $S$ a sinistra e i numeri a destra, ricaviamo per l’appunto $S = -1$. E in effetti Eulero (che sapeva benissimo che la serie andava all’infinito…) pensava che i numeri negativi fossero maggiori di tutti i numeri razionali.<\/p>\n

Il tutto vi sembra solo uno sporco trucco, come nella “dimostrazione” per cui 1 = 2 ottenuta dividendo a un certo punto entrambi i membri di un’equazione per zero? Non necessariamente, se passiamo dall’aritmetica a qualcosa di pi\u00f9 avanzato. Come potete per esempio leggere su Wikipedia<\/a>, consideriamo la serie di potenze $f(z) = 1 + 2z + 4z^2 + 8z^3 + 16z^4 + …$. (Uso la $z$ e non la $x$ perch\u00e9 lavorer\u00f2 nel campo dei numeri complessi); intorno al punto 0 il suo raggio di convergenza (cio\u00e8 il cerchio pi\u00f9 grande per cui per tutti tutti i punti al suo interno, esclusi al pi\u00f9 quelli sulla circonferenza, la serie converge) \u00e8 1\/2, perch\u00e9 per z=1\/2 la funzione \u00e8 1 + 1 + 1 + 1 + … che va all’infinito. Esiste per\u00f2 un teorema dell’analisi complessa che dice che se eliminiamo i punti in cui la funzione assume per l’appunto un valore infinito possiamo associare un unico valore finito per la funzione a tutti gli altri punti del piano complesso; questo valore coincide pertanto con quello della serie di partenza dove essa converge. La serie di potenze equivale alla funzione $f(z) = \\tfrac{1}{1-2z}$, e se ora prendiamo $z=1$ otteniamo per l’appunto −1 come risultato. Per completezza, Eulero us\u00f2 un approccio simile, anche se chiaramente solo sui numeri reali, per arrivare alla sua formula; e lo stesso tipo di calcolo \u00e8 stato usato anche da Ramanujan, quando disse che $1 + 2 + 3 + 4 + … = \\zeta(1) = -\\tfrac{1}{12}$. La matematica \u00e8 pluralistica, anche se sono in molti a credere che non sia cos\u00ec e che ci sia un’unica possibile soluzione per qualunque problema: in realt\u00e0 quello che importa \u00e8 avere un ambiente coerente (che non potremo dai dimostrare essere tale, ma quella \u00e8 un’altra storia) e siamo a posto.<\/p>\n

Ultima curiosit\u00e0: la voce di Wikipedia dice anche che se vediamo la serie come composta di numeri 2-adici $(1_{2p}, 10_{2p}, 100_{2p}, 1000_{2p}, ….)$ allora la somma \u00e8 comunque $-1$, perch\u00e9 la somma \u00e8 $…1111111_{2p}$ e se sommiamo 1 tutti gli 1 si annullano e resta appunto zero; ma non ho ancora trovato il tempo per spiegare cosa sono i numeri p-adici, quindi avete il diritto di non capire cosa ho scritto :-) <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Assurdo? Non necessariamente. La matematica \u00e8 pluralista.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":3,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"federated","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1005,214],"tags":[],"class_list":["post-33183","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matelight-2025","category-matematica_light"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yV-8Dd","jetpack-related-posts":[{"id":29041,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2024\/06\/05\/la-serie-di-kempner\/","url_meta":{"origin":33183,"position":0},"title":"La serie di Kempner","author":".mau.","date":"2024-06-05","format":false,"excerpt":"La serie armonica diverge cos\u00ec lentamente che non le si pu\u00f2 togliere troppa roba","rel":"","context":"In "mate-light-2024"","block_context":{"text":"mate-light-2024","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2024\/"},"img":{"alt_text":"la serie armonica","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/06\/HarmonicNumbers.svg_-300x240.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":12991,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2016\/05\/15\/quizzino-della-domenica-somma-delle-cifre\/","url_meta":{"origin":33183,"position":1},"title":"Quizzino della domenica: somma delle cifre","author":".mau.","date":"2016-05-15","format":false,"excerpt":"Consideriamo tutti i multipli di 2016 e calcoliamo per ciascuno di essi la somma delle loro cifre. 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