Prendete due numeri naturali a caso: per esempio 42 e 2025. Come vedete, in questo caso i numeri hanno un fattore in comune, per la precisione 3. Se invece avessimo scelto 42 = 2×3×7 e 2035 = 5×11×37 non ci sarebbe stato nessun fattore in comune, e quindi sono primi tra loro. Se vi piace la matematica, una domanda sorge spontanea: qual \u00e8 la probabilit\u00e0 che se scegliamo due numeri a caso essi siano primi tra loro? <\/p>\n
La domanda \u00e8 pi\u00f9 insidiosa di quanto possa sembrare a prima vista. Come \u00e8 possibile scegliere un numero a caso, visto che ce ne sono infiniti? La probabilit\u00e0 di sceglierne uno \u00e8 zero, come ci insegna Kolmogorov. I matematici per\u00f2 non si lasciano fermare da queste quisquilie, e hanno trovato un modo ragionevole per scegliere un numero a caso: calcolare il limite per $n \\to \\infty$ di cosa succede se scegliamo due numeri a caso tra 1 e $n$. Questo \u00e8 un semplice trucco formale: i conti li si fa lo stesso all’infinito…<\/p>\n
Vediamo ora i conti effettivi. Preso un numero primo $p$, la probabilit\u00e0 che due numeri casuali abbiano entrambi un fattore $p$ \u00e8 $1\\!\/\\!p^2$, e quindi quella che non abbiano quel fattore \u00e8 $1 – 1\\!\/\\!p^2$. Dato che la probabilit\u00e0 \u00e8 indipendente dal numero primo scelto, la probabilit\u00e0 che due numeri non abbiano fattori primi in comune \u00e8 <\/p>\n
$$ P = (1 – 1\\!\/\\!2^2)(1 – 1\\!\/\\!3^2)(1 – 1\\!\/\\!5^2)(1 – 1\\!\/\\!7^2)(1 – 1\\!\/\\!11^2)\\cdots $$<\/p>\n
Ma sappiamo che possiamo scrivere $1\\!\/\\!(1-x) = 1 + x + x^2 + x^3 + \\cdots$. Sostituendo queste successioni infinite nella formula sopra ricaviamo <\/p>\n
$$ P = \\left( (1 + 1\\!\/\\!2^2 + 1\\!\/\\!2^4 + \\cdots)(1 + 1\\!\/\\!3^3 + 1\\!\/\\!3^4 + \\cdots) \\cdots \\right) ^{-1}. $$<\/p>\n
Qui arriva il colpo di genio, che elimina uno dei due livelli di infinito nel prodotto qui sopra. Un qualunque numero \u00e8 sempre esprimibile in un unico modo come prodotto di numeri primi. Questo significa che tutti e soli i quadrati dei numeri naturali si troveranno una e una sola volta come demoninatore, scegliendo opportunamente i fattori, (Chiaramente non si pu\u00f2 ottenere un numero che non \u00e8 un quadrato perfetto, se moltiplichiamo solo quadrati perfetti). Dunque la somma vale <\/p>\n
$$ P = (1 + 1\\!\/\\!2^2 + 1\\!\/\\!3^2 + 1\\!\/\\!4^2 + 1\\!\/\\!5^2 + \\cdots )^{-1} $$<\/p>\n
Non si direbbe abbiamo fatto un grande passo avanti, vero? Ma qui possiamo farci aiutare da zio Eulero, che nel 1735 risolse il “Problema di Basilea” e dimostr\u00f2 che la somma degli inversi dei quadrati dei numeri naturali vale $\\pi^2\\!\/\\!6$. (Oggi chiamiamo quella somma $\\zeta(2)$, usando la zeta di Riemann, ma quella \u00e8 un’altra storia). Pertanto la probabilit\u00e0 che cerchiamo \u00e8 il suo inverso, cio\u00e8 $6\/\\pi^2$, pari a circa il 61%. <\/p>\n
L’avreste mai detto, che pi greco sarebbe spuntato <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"
La risposta \u00e8 inaspettata<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":3,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"federated","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1005,214],"tags":[],"class_list":["post-33174","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matelight-2025","category-matematica_light"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yV-8D4","jetpack-related-posts":[{"id":37171,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2026\/05\/20\/fibonacci-dove-meno-te-laspetti\/","url_meta":{"origin":33174,"position":0},"title":"Fibonacci dove meno te l’aspetti","author":".mau.","date":"2026-05-20","format":false,"excerpt":"Un'estensione del problema di costruire un triangolo con segmenti a caso ritrova i numeri di Fibonacci","rel":"","context":"In "mate-light 2026"","block_context":{"text":"mate-light 2026","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2026\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":16009,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2017\/12\/31\/quizzino-della-domenica-quanti-primi\/","url_meta":{"origin":33174,"position":1},"title":"Quizzino della domenica: quanti primi!","author":".mau.","date":"2017-12-31","format":false,"excerpt":"Sapete come Euclide dimostr\u00f2 che c'erano infiniti numeri primi? 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