{"id":32682,"date":"2025-06-04T04:51:25","date_gmt":"2025-06-04T02:51:25","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=32682"},"modified":"2025-06-03T19:28:26","modified_gmt":"2025-06-03T17:28:26","slug":"quaternioni-che-non-ce-lhanno-fatta","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2025\/06\/04\/quaternioni-che-non-ce-lhanno-fatta\/","title":{"rendered":"Quaternioni che non ce l’hanno fatta"},"content":{"rendered":"

I quaternioni sono un’estensione dei numeri complessi, ideata da William Rowan Hamilton che voleva estendere alla terza dimensione le operazioni geometriche permesse sul piano dall’introduzione dei numeri complessi: dopo lunghi e infruttuosi tentativi di aggiungere una nuova unit\u00e0 immaginaria che rappresentasse l’asse z, il 16 ottobre 1843 ebbe l’idea risolutiva mentre passeggiava con la moglie a Dublino e passava su Brougham Bridge: occorreva anche avere una terza unit\u00e0 immaginaria per riuscire a far tornare i conti nel caso di moltiplicazioni. Incise cos\u00ec sul parapetto del ponte le formule di base per i quaternioni: (ora il ponte si chiama Broom Bridge, e al posto dell’incisione c’\u00e8 una targa)<\/p>\n

$$i^2 = j^2 = k^2 = ijk = \u22121$$<\/p>\n

\"tabella
Tabella moltiplicativa per i quaternioni; il primo fattore \u00e8 quello della riga verticale a sinistra, il secondo quello della riga orizzontale in alto.<\/figcaption><\/figure>\n

Ok, tecnicamente non serviva una terza unit\u00e0 immaginaria: Hamilton avrebbe potuto accontentarsi di $i$ e $j$, con le uguaglianze $i^2 = j^2 = -1$ e $ij = -ji$, ma evidentemente preferiva una simmetria totale. Come avete notato, passando ai quaternioni perdiamo qualcosa. Come nel caso dei numeri complessi non avevamo pi\u00f9 un ordinamento (naturale: possiamo sempre dire che $a+bi > c+di$ se $a>c$ oppure $a=c, b>d$, ma non ce ne facciamo niente in pratica), con i quaternioni perdiamo la commutativit\u00e0 della moltiplicazione. Questo non dovrebbe stupirci: se i quaternioni rappresentano operazioni che si fanno nello spazio e nel particolare quelli unitari rappresentano una rotazione, sappiamo che il risultato della composizione di due rotazioni spaziali dipende dall’ordine con cui si eseguono. La cosa divertente \u00e8 che come al solito in matematica non si butta mai via nulla: la moltiplicazione di due quaternioni \u00e8 fondamentalmente identica all’Identit\u00e0 dei quattro quadrati di Eulero<\/a>, che il grande matematico svizzero aveva scoperto un secolo prima…<\/p>\n

Quello che per\u00f2 ho scoperto in questi giorni \u00e8 che i quaternioni non sono stati l’unico modo per rappresentare l’algebra corrispondente agli spazi 3D e 4D! I primi esempi sono stati trovati da James Cockle, un altro avvocato prestato alla matematica. Nel 1848 Cockle propose i tessarini<\/a>, che sono definiti dalle seguenti relazioni: <\/p>\n

$$i j = j i = k, \\quad i^2 = -1, \\quad j^2 = 1$$<\/p>\n

\"tabella
tabella moltiplicativa per i tessarini<\/figcaption><\/figure>\n

I tessarini sono stati creati per rappresentare seno e coseno iperbolico, ma hanno lo svantaggio di avere dei divisori dello zero, cio\u00e8 due numeri non nulli tale che il loro prodotto sia zero. L’anno successivo Cockle propose cos\u00ec i coquaternioni<\/a>, con le relazioni <\/p>\n

$$i^2 = -1, \\quad j^2 = k^2 = 1, \\quad ij = k = -ji $$<\/p>\n

\"tabella
tabella mottiplicativa per i coquaternioni<\/figcaption><\/figure>\n

Anche in questo caso per\u00f2 abbiamo divisori dello zero e addirittura elementi nilpotenti (che cio\u00e8 elevati a una potenza sufficientemente alta danno zero.<\/p>\n

Tutti questi tipi di numero vengono oggi visti come matrici 2×2: abbiamo per i quaternioni le unit\u00e0<\/p>\n

$$1 = \\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix} \\qquad
\n i = \\begin{pmatrix} i & 0 \\\\ 0 & i \\end{pmatrix} \\qquad
\n j = \\begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ -1 & 0 \\end{pmatrix} \\qquad
\n k = \\begin{pmatrix} 0 & i \\\\ i & 0 \\end{pmatrix}$$<\/p>\n

Per i tessarini valgono invece le uguaglianze<\/p>\n

$$1 = \\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix} \\qquad
\n i = \\begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ -1 & 0 \\end{pmatrix} \\qquad
\n j = \\begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \\end{pmatrix} \\qquad
\n k = \\begin{pmatrix} 0 & i \\\\ i & 0 \\end{pmatrix}$$<\/p>\n

Per i coquaternioni infine abbiamo <\/p>\n

$$1 = \\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix} \\qquad
\n i = \\begin{pmatrix} i & 0 \\\\ 0 & i \\end{pmatrix} \\qquad
\n j = \\begin{pmatrix} 0 & 1 \\\\ 1 & 0 \\end{pmatrix} \\qquad
\n k = \\begin{pmatrix} 1 & 0 \\\\ 0 & -1 \\end{pmatrix}$$<\/p>\n

In pratica tutte queste algebre sono casi speciali dei biquaternioni<\/a>, che sono appunto algebre sulle matrici 2×2. Non potete dire che i matematici non abbiano fantasia…<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

I quaternioni sono un’estensione dei numeri complessi, ideata da William Rowan Hamilton che voleva estendere alla terza dimensione le operazioni geometriche permesse sul piano dall’introduzione dei numeri complessi: dopo lunghi e infruttuosi tentativi di aggiungere una nuova unit\u00e0 immaginaria che rappresentasse l’asse z, il 16 ottobre 1843 ebbe l’idea risolutiva mentre passeggiava con la moglie 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