{"id":32627,"date":"2025-05-28T04:51:11","date_gmt":"2025-05-28T02:51:11","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=32627"},"modified":"2025-05-27T17:38:46","modified_gmt":"2025-05-27T15:38:46","slug":"due-formule-matematiche","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2025\/05\/28\/due-formule-matematiche\/","title":{"rendered":"Due formule matematiche"},"content":{"rendered":"

Oggi mi limito a mostrarvi due formule matematiche, la prima con una dimostrazione grafica e la seconda che dovete accettare in maniera fideistica (non ho mica voglia di fare i conti!)<\/p>\n

\"il<\/a><\/p>\n

Senza calcolatrice, sapreste dire se \u00e8 pi\u00f9 grande e^\u03c0 oppure \u03c0^e? Il trucco, come mostrato da The Math Flow,<\/a> consiste nel considerare la funzione $\\frac{\\ln(x)}{x}$. La sua derivata \u00e8 $\\frac{1-\\ln(x)}{x^2}$, che si annulla solo per $x = e$. Prendendo i punti di ascissa $e$ e $\\pi$ sul grafico della funzione, abbiamo pertanto che $\\frac{1}{e} > \\frac{\\ln(\\pi)}{\\pi}$; moltiplicando per $\\pi$, abbiamo $\\frac{\\pi}{e} > \\ln(\\pi)$; prendendo l’antilogaritmo otteniamo $e^{\\pi\/e} > \\pi$; elevando infine alla potenza $e$ ricaviamo $e^pi > \\pi^e$.<\/p>\n

\"il<\/a><\/p>\n

Passiamo ora al primo grande risultato trovato da Gauss: la costruzione di un nuovo poligono regolare di riga e compasso, oltre a quelli gi\u00e0 noti ai greci. Per la precisione Gauss ha trovato tutti<\/b> i possibili poligoni costruibili, che hanno un numero di lati che una volta fattorizzato risulta essere una potenza di due per un prodotto di primi di Fermat. I primi di Fermat che conosciamo sono solo 3, 5, 17, 257 e 65537; triangolo e pentagono li conoscevamo, il 257-gono e il 65537-gono non sono disegnabili in pratica, e quindi resta l’eptadecagono. La formula presentata da Fermat’s Library<\/a> \u00e8 quella che d\u00e0 il lato di un eptadecagono inscritto in un cerchio di raggio unitario: <\/p>\n

$$\\begin{align}
\n&\\cos \\left( \\frac{2\\pi}{17} \\right) = \\frac{-1+\\sqrt{17}+\\sqrt{34-2\\sqrt{17}}}{16} + \\\\& + \\frac{2\\sqrt{17+3\\sqrt{17}-\\sqrt{34-2\\sqrt{17}}-2\\sqrt{34+2\\sqrt{17}}}}{16}
\n\\end{align}$$<\/p>\n

Questo numero \u00e8 chiaramente (…) costruibile con riga e compasso, perch\u00e9 si ottiene usando solo addizioni, moltiplicazioni ed estrazione di radice quadrata: ma vi voglio vedere ad ottenere una costruzione geometrica esplicita. Non ho idea di come Gauss sia arrivato a scoprire questa costruzione. Una cosa \u00e8 per\u00f2 certa: Gauss \u00e8 riuscito a trasformare un problema apparentemente geometrico in uno algebrico, e ha cos\u00ec mostrato come cambiare punto di vista pu\u00f2 portare a risultati entusiasmanti!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Come dimostrare che e^\u03c0 > \u03c0^e e come costruire un eptadecagono regolare.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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