{"id":32436,"date":"2025-05-14T04:51:04","date_gmt":"2025-05-14T02:51:04","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=32436"},"modified":"2025-05-13T22:32:06","modified_gmt":"2025-05-13T20:32:06","slug":"il-principio-del-cammello","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2025\/05\/14\/il-principio-del-cammello\/","title":{"rendered":"Il principio del cammello"},"content":{"rendered":"

Conoscete sicuramente il principio dei cassetti: se avete $n$ cassetti e volete metterci dentro $n+1$ magliette, ci sar\u00e0 almeno un cassetto che conterr\u00e0 due magliette (pi\u00f9 o meno stropicciate). Immagino per\u00f2 che non abbiate mai sentito parlare del principio del cammello: almeno io.non lo conoscevo, anche perch\u00e9 probabilmente il nome l’ha inventato Tiwadar Danka, che ne parla in questo suo articolo<\/a>.<\/p>\n

\"i<\/a><\/p>\n

Il nome del principio deriva dalla vecchia storia del beduino che in punto di morte divide i suoi diciassette cammello tra i tre figli: al maggiore ne tocca la met\u00e0, al secondogenito un terzo e al minore un nono. Quando dopo il funerale i fratelli si accingono a spartirsi i cammelli, scoprono che bisogna fare spezzatini di cammello per la suddivisione, come mostrato in figura qui sopra: e notoriamente la carne di cammello \u00e8 molto stopposa e non \u00e8 buona nemmeno come spezzatino. Mentre stanno litigando, passa un vecchio saggio in sella al suo cammello. Fattosi spiegare il motivo della diatriba, ci pensa su un attimo e poi dice “Nema problema! Tenetemi un attimo il cammello, e rifacciamo i conti.” I cammelli sono ora 18, e i conti tornano perfettamente: nove cammelli vanno al figlio maggiore, sei al secondo e due al terzo. Facendo la somma abbiamo 17 cammelli suddivisi tra i fratelli; il saggio saluta, si riprende il suo cammello e se ne va.<\/p>\n

\"col<\/a><\/p>\n

Cosa ha fatto il saggio? Ha aggiunto e poi tolto un cammello. Il principio del cammello \u00e8 proprio questo: se noi sommiamo e sottraiamo la stessa quantit\u00e0 non modifichiamo il risultato, ma magari possiamo riarrangiare i termini per trovare una soluzione. Nel caso del racconto qui sopra in realt\u00e0 c’\u00e8 un trucco: il beduino aveva fatto male la suddivisione, oltre a fare parti estremamente disuguali. Infatti 1\/2 + 1\/3 + 1\/9 = 17\/18. Ecco perch\u00e9 i conti non tornavano! Ma ci sono altri esempi pratici. Per esempio, come si arriva alla soluzione di un’equazione di secondo grado? Noi a scuola impariamo la formula a memoria, e poi ce la dimentichiamo subito dopo. Nel mondo anglosassone la formula viene ricavata “completando il quadrato” e questa \u00e8 un’applicazione del principio del cammello. Vediamo come.<\/p>\n

Partendo dall’equazione $ax^2 + bx + c = 0$, il primo passaggio consiste nel fattorizzare $a$:<\/p>\n

$$a \\left[ x^2 + \\frac{b}{a}x + \\frac{c}{a} \\right] = 0$$<\/p>\n

Da qui ci piacerebbe avere un qualcosa della forma $(ax+r)^2$: per farlo possiamo sommare e sottrarre un cammell… ehm, il termine $b^2\/4a^2$. Otteniamo dunque <\/p>\n

$$a \\left[ x^2 + \\frac{b}{a}x + \\frac{b^2}{4a^2} – \\frac{b^2}{4a^2} + \\frac{c}{a} \\right] = 0 \\quad → \\quad \\\\ a \\left[ \\left(x + \\frac{b}{2a}\\right)^2 – \\frac{b^2}{4a^2} + \\frac{c}{a} \\right] = 0$$<\/p>\n

Perch\u00e9 il prodotto di due termini sia nullo, almeno uno deve esserlo: ma $a \\ne 0$ perch\u00e9 senn\u00f2 l’equazione non sarebbe di secondo grado, quindi a essere nulle \u00e8 il secondo,da cui abbiamo <\/p>\n

$$\\left(x + \\frac{b}{2a}\\right)^2 = \\frac{b^2 – 4ac}{(2a)^2}$$<\/p>\n

che ci porta rapidamente alla formula cercata.<\/p>\n

Il secondo esempio di Danka sfrutta una variante del principio del cammello: anzich\u00e9 sommare e sottrarre la stessa quantit\u00e0, si moltiplica e divide per la stessa quantit\u00e0 (non nulla, ovvio). Questa variante viene usata per ricavare la formula della derivata di una funzione composta. Sappiamo che la definizione della derivata di una funzione $f()$ nel punto $a$ \u00e8 data da <\/p>\n

$$f'(a) = \\lim_{x \\to a} \\frac{f(x)-f(a)}{x-a} $$<\/p>\n

E se noi volessimo trovare la derivata in $a$ di $(f \\circ g)()$? Riscriviamo la formula sopra: <\/p>\n

$$ (f \\circ g)'(a) = \\lim_{x \\to a} \\frac{(f \\circ g)(x)-(f \\circ g)(a)}{x-a} $$<\/p>\n

A questo punto prendiamo il nostro cammello e moltiplichiamo e dividiamo per $g(x) – g(a)$. Otteniamo <\/p>\n

$$ (f \\circ g)'(a) = \\lim_{x \\to a} \\frac{(f \\circ g)(x)-(f \\circ g)(a)}{g(x) – g(a)} \\frac{g(x) – g(a)}{x-a} $$<\/p>\n

Abbiamo ora il limite di un prodotto che (sempre alle solite condizioni di esistenza) \u00e8 uguale al prodotto dei limiti: <\/p>\n

$$ (f \\circ g)'(a) = \\lim_{x \\to a} \\frac{(f \\circ g)(x)-(f \\circ g)(a)} {g(x) – g(a)}\\lim_{x \\to a} \\frac{g(x) – g(a)}{x-a} $$<\/p>\n

Ma il primo limite \u00e8 $f'(g(a))$ e il secondo \u00e8 $g'(a)$, da cui il risultato cercato $(f \\circ g)'(a) = f'(g(a))\\cdot g'(a)$.<\/p>\n

L’unico vero problema del principio del cammello \u00e8 che bisogna avere un’idea di cosa ci pu\u00f2 servire per facilitarci la vita: ma se ricontrollate gli esempi vedete che non \u00e8 poi cos\u00ec difficile. Anche nel secondo caso tutto quello che avevamo a disposizione era la definizione di derivata, e quindi ce la siamo cercata (senza doppi sensi). Vi vengono in mente altri casi in cui si pu\u00f2 usare il principio del cammello?<\/p>\n

La silhouette del cammello \u00e8 presa da SVGrepo<\/a>.<\/small><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Non sar\u00e0 noto come il principio dei cassetti, ma ha anch’esso la sua utilit\u00e0.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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