{"id":32363,"date":"2025-05-07T04:51:24","date_gmt":"2025-05-07T02:51:24","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=32363"},"modified":"2025-05-06T19:20:38","modified_gmt":"2025-05-06T17:20:38","slug":"il-teorema-di-schinzel","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2025\/05\/07\/il-teorema-di-schinzel\/","title":{"rendered":"Il teorema di Schinzel"},"content":{"rendered":"

\"un<\/a>
\nPrendiamo un foglio a quadretti, e consideriamo i vertici dei quadretti (i punti di un lattice a coordinate intere, per dirlo in maniera pi\u00f9 seria: nel seguito parler\u00f2 di punti a coordinate intere o punti del lattice.) Disegniamo ora sul foglio un cerchio. Secondo voi, il teorema “dato un numero $n$, \u00e8 sempre possibile costruire un cerchio che contiene al suo interno esattamente $n$ punti a coordinate intere” \u00e8 vero o falso? (Possiamo accettare o no i punti a coordinate intere sulla circonferenza, tanto \u00e8 sempre possibile allargare il raggio di un $\\varepsilon$ abbastanza piccolo da non toccare nessun altro punto a coordinate intere). In questo caso la dimostrazione \u00e8 relativamente semplice: se troviamo un punto del piano che abbia distanza diversa da tutti i punti del lattice, possiamo costruire un cerchio di centro quel punto, e al crescere del raggio il numero di punti ivi contenuti crescer\u00e0 di una singola unit\u00e0 per volta. Un punto simile \u00e8 $P = (\\sqrt 2, \\frac{1}{3})$. <\/p>\n

Come dimostrarlo? Supponiamo per assurdo che i punti distinti del lattice di coordinate $(a,b)$ e $(c,d)$ siano alla stessa distanza da $P$. Abbiamo allora per definizione<\/p>\n

$(a-\\sqrt 2)^2 + (b-\\frac{1}{3})^2 = (c-\\sqrt 2)^2 + (d-\\frac{1}{3})^2$<\/p>\n

Separando la parte irrazionale da quella razionale otteniamo<\/p>\n

$2(c-a)\\sqrt 2 = c^2 + d^2 – a^2 – b^2 + \\frac{2}{3}(b-d)$<\/p>\n

Poich\u00e9 il secondo membro \u00e8 un numero razionale, anche il primo deve esserlo; pertanto devono essere entrambi uguali a zero. Abbiamo cos\u00ec <\/p>\n

$c=a; c^2 + d^2 – a^2 – b^2 + \\frac{2}{3}(b-d) = 0.$<\/p>\n

Sostituendo la prima uguaglianza nella seconda, abbiamo $d^2 – b^2 + \\frac{2}{3}(b-d) = 0$, cio\u00e8 <\/p>\n

$(d-b)(d+b-\\frac{2}{3}) = 0.$<\/p>\n

Ma $b$ e $d$ sono interi, quindi il secondo fattore non pu\u00f2 essere nullo; pertanto $d=b$. Ma allora i due punti $(a,b)$ e $(c,d)$ coincidono, il che va contro la nostra ipotesi. Pare che Hugo Steinhaus sia anche riuscito a dimostrare che \u00e8 possibile trovare un cerchio di area $n$ che contiene esattamente $n$ punti a coordinate intere, ma non sono riuscito a trovare traccia di questa dimostrazione.<\/p>\n

Passiamo ora a un problema pi\u00f9 complicato, considerando non il cerchio ma solo la circonferenza appena costruita. \u00c8 possibile che questa circonferenza non passi per nessuno dei vertici dei quadretti (i punti di un lattice a coordinate intere, per dirlo in maniera pi\u00f9 seria). Ma a volte capita che alcuni dei punti della circonferenza abbiano coordinate intere. Per esempio, la circonferenza $x^2 + y^2 = 25$, cio\u00e8 di centro l’origine e raggio 5, passa per i punti $(-5,0), (5,0), (0,-5), (0,5), (-3,-4), (-3,4), (3,-4), (3,4)$. La domanda che ora possiamo farci \u00e8 “ma dato un numero $n$, riusciamo a costruire una circonferenza che passi per esattamente $n$ punti di coordinate intere?”<\/p>\n

Se $n=1$ trovare una circonferenza simile \u00e8 semplice: si prende una circonferenza di centro $(0,\\frac{1}{4})$ e raggio \\frac{1}{4}. Se $n=2$ \u00e8 altrettanto semplice: si prende una circonferenza di centro $(0,\\frac{1}{2})$ e raggio \\frac{1}{2}. In figura vedete una possibile soluzione per il caso $n=4$. Ma provate a risolvere il caso $n=3$… Una dimostrazione del teorema si \u00e8 avuta solo nel 1958, a opera del matematico polacco Andrzej Schinzel, e ha il pregio di essere costruttiva: se $n$ \u00e8 pari e quindi $n = 2k$ allora la circonferenza cercata ha centro $(\\frac{1}{2}, 0)$ e raggio $\\frac{1}{2} \\cdot 5^{(k-1)\/2}$, mentre se $n$ \u00e8 dispari e quindi $n = 2k+1$ la circonferenza ha centro $(\\frac{1}{3}, 0)$ e raggio $\\frac{1}{2} \\cdot 5^k$.<\/p>\n

Non scrivo la dimostrazione, che \u00e8 piuttosto lunga (e la pagina di Wikipedia<\/a> \u00e8 troppo stringata per capirci qualcosa, tra l’altro): posso per\u00f2 dire che si basa su un teorema di teoria dei numeri, che non dimostrer\u00f2, che afferma che il numero $r(n)$ di soluzioni intere $(x,y)$ dell’equazione $x^2 + y^2 = n$ \u00e8 quattro volte la differenza tra il numero di divisori di $n$ della forma $4h+1$ e quelli della forma $4h+3$: il numero in realt\u00e0 \u00e8 da dividere per due perch\u00e9 si contano sia $(x,y)$ che $(y,x)$.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Siete in grado di scrivere un’equazione esplicita di una circonferenza che passi per un numero predefinito di punti a coordinate intere?<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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