{"id":32298,"date":"2025-04-30T04:51:37","date_gmt":"2025-04-30T02:51:37","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=32298"},"modified":"2025-04-29T23:01:09","modified_gmt":"2025-04-29T21:01:09","slug":"il-teorema-di-tolomeo-senza-parole","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2025\/04\/30\/il-teorema-di-tolomeo-senza-parole\/","title":{"rendered":"Il teorema di Tolomeo senza parole"},"content":{"rendered":"

\"Un
\nSono in molti a pensare che la geometria classica sia terminata con Euclide e i suoi Elementi, che hanno organizzato tutto. Questo non \u00e8 affatto vero: esistono tanti teoremi, anche su figure apparentemente semplici come i triangoli, che sono stati scoperti in epoca moderna. Ma soprattutto non dobbiamo dimenticarci che in epoca ellenistica lo studio della matematica in generale e della geometria in particolare \u00e8 proseguito, e si hanno molti teoremi “classici” ma non “euclidei” (anche se parliamo sempre di geometria euclidea, si intende).<\/p>\n

Un esempio \u00e8 il teorema di Tolomeo<\/a>, il cui enunciato con relativa dimostrazione si trova nell’Almagesto, e che afferma che in un quadrilatero ABCD ciclico (vale a dire inscritto in una circonferenza), vale la seguente relazione:<\/p>\n

$\\overline{AC}\\cdot \\overline{BD}=\\overline{AB}\\cdot \\overline{CD}+\\overline{BC}\\cdot \\overline{AD}$<\/center><\/p>\n

cio\u00e8 che la somma dei prodotti delle coppie di lati opposti \u00e8 uguale al prodotto delle sue diagonali. Nella figura qui sopra vedete un quadrilatero ciclico con le sue diagonali, e gli angoli uguali a due a due perch\u00e9 angoli alla circonferenza insistenti sullo stesso raggio; quindi $ \\alpha + \\beta + \\gamma + \\delta = 180^{\\circ}.$<\/p>\n

Nel 2015 William Derrick e James Hirstein, dell’universit\u00e0 del Montana, hanno pubblicato una dimostrazione<\/a> senza parole del teorema, che vedete nella figura qui sotto. In pratica si scalano tre dei triangoli mostrati nella figura originale e li si riassemblano per formare un parallelogramma, sfruttando l’equazione sugli angoli che abbiamo appena visto. Il risultato finale \u00e8 immediato. Qui<\/a> trovate un video con questa dimostrazione.<\/p>\n

\"dimostrazione<\/p>\n

Notato nulla di strano? Tolomeo non avrebbe mai usato una dimostrazione del genere, perch\u00e9 abbiamo scritto dei segmenti come fossero delle aree. La forza dell’algebra \u00e8 anche questa: svincolarci dal significato geometrico degli elementi e considerarli come semplici numeri.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Un risultato non molto noto, e una dimostrazione relativamente semplice.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":3,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"federated","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1005,214],"tags":[],"class_list":["post-32298","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matelight-2025","category-matematica_light"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yV-8oW","jetpack-related-posts":[{"id":22150,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2021\/05\/12\/the-wonder-book-of-geometry-libro\/","url_meta":{"origin":32298,"position":0},"title":"The Wonder Book of Geometry (libro)","author":".mau.","date":"2021-05-12","format":false,"excerpt":"Uno sguardo non molto classico alla geometria euclidea","rel":"","context":"In "rec-2021"","block_context":{"text":"rec-2021","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/recensioni\/recensioni-2021\/"},"img":{"alt_text":"","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2021\/05\/9780198846383.jpg?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":8798,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2012\/03\/19\/_una_via_di_fug\/","url_meta":{"origin":32298,"position":1},"title":"_Una via di fuga_ (libro)","author":".mau.","date":"2012-03-19","format":false,"excerpt":"Finalmente un Odifreddi al meglio","rel":"","context":"Con 7 commenti","block_context":{"text":"Con 7 commenti","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2012\/03\/19\/_una_via_di_fug\/#comments"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":8491,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2011\/08\/30\/quando_le_rette\/","url_meta":{"origin":32298,"position":2},"title":"Quando le rette diventano curve (libro)","author":".mau.","date":"2011-08-30","format":false,"excerpt":"tanta geometria di tutti i tipi","rel":"","context":"In "recensioni"","block_context":{"text":"recensioni","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/recensioni\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":28564,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2024\/03\/19\/matematica-lezione-6-la-geometria-piana\/","url_meta":{"origin":32298,"position":3},"title":"MATEMATICA – Lezione 6: La geometria piana","author":".mau.","date":"2024-03-19","format":false,"excerpt":"Perch\u00e9 ha ancora senso fare geometria euclidea","rel":"","context":"In "rec-2024"","block_context":{"text":"rec-2024","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/recensioni\/recensioni-2024\/"},"img":{"alt_text":"copertina","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/03\/mate06-205x300.jpg?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":29244,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2024\/07\/06\/matematica-lezione-21-le-trasformazioni-geometriche\/","url_meta":{"origin":32298,"position":4},"title":"MATEMATICA – Lezione 21: Le trasformazioni geometriche","author":".mau.","date":"2024-07-06","format":false,"excerpt":"una unificazione della geometria","rel":"","context":"In "rec-2024"","block_context":{"text":"rec-2024","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/recensioni\/recensioni-2024\/"},"img":{"alt_text":"copertina","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/07\/mate21-187x300.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":29068,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2024\/06\/08\/le-geometrie-oltre-euclide-libro\/","url_meta":{"origin":32298,"position":5},"title":"Le geometrie oltre Euclide (libro)","author":".mau.","date":"2024-06-08","format":false,"excerpt":"una visione unitaria della geometria e delle geometrie","rel":"","context":"In "rec-2024"","block_context":{"text":"rec-2024","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/recensioni\/recensioni-2024\/"},"img":{"alt_text":"copertina","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/06\/9791280068811.jpg?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]}],"jetpack_likes_enabled":true,"jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/32298","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=32298"}],"version-history":[{"count":8,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/32298\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":32312,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/32298\/revisions\/32312"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=32298"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=32298"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=32298"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}