{"id":32198,"date":"2025-04-23T04:51:13","date_gmt":"2025-04-23T02:51:13","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=32198"},"modified":"2025-04-23T10:53:06","modified_gmt":"2025-04-23T08:53:06","slug":"insiemi-di-ulam","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2025\/04\/23\/insiemi-di-ulam\/","title":{"rendered":"Insiemi di Ulam"},"content":{"rendered":"

La settimana scorsa ho parlato dei numeri di Ulam<\/a>: una successione che comincia con 1,2 e continua aggiungendo man mano il pi\u00f9 piccolo elemento che \u00e8 esprimibile come somma di due elementi distinti della successione in un solo modo. <\/p>\n

Che pu\u00f2 fare a questo punto un matematico? Generalizzare, ovvio. Nel 2020 \u00e8 stato pubblicato un articolo<\/a> di Tej Bade, Kelly Cui, Antoine Labelle e Deyuan Li (supervisionati da Noah Kravitz) che hanno generalizzato al di l\u00e0 dei numeri naturali i numeri di Ulam. L’esempio pi\u00f9 semplice \u00e8 per l’appunto l’insieme di Ulam sull’insieme delle stringhe binarie generate da {0,1} con una regola simile, sostituendo alla somma la concatenazione. Quindi una stringa fa parte dell’insieme di Ulam se pu\u00f2 essere generata in un unico modo come concatenazione di due altre stringhe diverse tra loro. Quindi le stringhe di lunghezza 2 sono 01 e 10 (ma non 00 e 11); quelle di lunghezza 3 sono 0.01, 01.1, 10.0 e 1.10, dove il punto serve semplicemente per distinguere le due stringhe concatenate e non fa parte della stringa in s\u00e9. Passando alle stringhe di quattro elementi abbiamo 0.001, 001.0, 0.100, 011.1, 100.0, 1.011, 110.1, 1.110. Non abbiamo 10.10 (concatenazione di due stringhe uguali) n\u00e9 0011, che \u00e8 la concatenazione 0.011 ma anche 001.1.
\n\"percentuale
\nPerch\u00e9 si chiama insieme e non successione di Ulam generalizzata? Perch\u00e9 non c’\u00e8 nessuna ragione specifica per dare un ordinamento tra le varie stringhe, a differenza dei numeri, e quindi \u00e8 pi\u00f9 opportuno lasciarle sotto forma di insieme. A oggi si sa ancora meno sugli insiemi di Ulam che sui numeri di Ulam. Per esempio il grafico che vedete, preso dal succitato articolo, mostra la percentuale di stringhe di lunghezza n<\/i> che sono nell’insieme di Ulam. Gli autori congetturano che, proprio come per la densit\u00e0 dei numeri di Ulam, questa percentuale abbia un limite diverso da zero: ma in quest’altro articolo<\/a> del 2024 Paul Adutwum, Hopper Clark, Ro Emerson, Alexandra Sheydvasser, Arseniy Sheydvasser, e Axelle Tougouma congetturano che essa tenda a zero proporzionalmente a $n^{-0,\\!3}$. <\/p>\n

Qualcosa si riesce per\u00f2 a dimostrare: per esempio, Adutwum et al. hanno mostrato che se plottiamo l’insieme dei punti $(x,y)$ per cui la stringa 111…1000…0 con $x$ elementi 1 seguiti da $x-y$ elementi 0 \u00e8 una stringa di Ulam allora i punti formano un triangolo di Sierpi\u0144ski discreto con in pi\u00f9 il punto (1,1). Non ho idea di quale sia la relazione, ma indubbiamente c’\u00e8!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Una generalizzazione dei numeri di Ulam visti la volta scorsa. <\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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