{"id":32137,"date":"2025-04-16T04:51:31","date_gmt":"2025-04-16T02:51:31","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=32137"},"modified":"2025-04-15T10:50:07","modified_gmt":"2025-04-15T08:50:07","slug":"i-numeri-di-ulam","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2025\/04\/16\/i-numeri-di-ulam\/","title":{"rendered":"I numeri di Ulam"},"content":{"rendered":"

Stanislaw Ulam \u00e8 stato un matematico novecentesco noto per aver lavorato al progetto Manhattan e avere ideato insieme a John Von Neumann il metodo Monte Carlo, che possiamo definire come “se non sai come risolvere un’equazione troppo complicata, butta tanti numeri a caso e vedi cosa succede”. Ma Ulam era uno che in genere si divertiva con i numeri, unendoli in modi diversi per vedere se capitava qualcosa di interessante. Per esempio chi come me si \u00e8 bevuto tutti i libri di Martin Gardner conosce sicuramente la spirale di Ulam<\/a>, che esibisce alcune particolarit\u00e0 dei numeri primi che paiono disporsi secondo alcune linee specifiche.<\/p>\n

Quello che non conoscevo erano invece i numeri di Ulam<\/a>, una successione di numeri che ha delle propriet\u00e0 davvero strane (non diciamo interessanti per non dover sentire gli alti lai di chi afferma che di interessante non c’\u00e8 nulla). I numeri di Ulam $U_n$ si definiscono ricorsivamente in questo modo: $U_1 = 1$, $U_2 = 2$, e per $k \\gt 2$ abbiamo che $U_k$ \u00e8 il pi\u00f9 piccolo numero naturale che pu\u00f2 essere espresso in un solo modo come somma di due numeri (precedenti) di Ulam distinti<\/i>. <\/p>\n

Quali sono i primi numeri di Ulam? $U_3 = 3$, perch\u00e9 l’unico modo di ottenerlo \u00e8 scrivere 1+2. $U_4 = 4$; infatti \u00e8 vero che abbiamo 4 = 1+3 = 2+2, ma gli addendi devono essere distinti e quindi la seconda somma non vale. Per\u00f2 $U_5 = 6$: infatti 5 = 1+4 = 2+3. Ecco l’inizio della successione, che \u00e8 la A002858 in OEIS<\/a>:<\/p>\n

1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26, 28, 36, 38, 47, 48, 53, 57, 62, 69, 72, 77, 82, 87, 97, 99, 102, 106, 114, 126, 131, 138, 145, 148, 155, 175, 177, 180, 182, 189, 197, 206, 209, 219, 221, 236, 238, 241, 243, 253, 258, 260, 273, 282, ...<\/tt><\/p>\n

I numeri di Ulam sono infiniti, anche se al momento in cui scrivo Wikipedia in inglese ha una dimostrazione errata (poi l’aggiuster\u00f2… l’errore risale al 2010, tra l’altro), mentre quella in italiano \u00e8 corretta ma convoluta. Supponiamo infatti per assurdo che essi siano un numero finito $n$, e consideriamo $U := U_{n-1} + U_n$. Poich\u00e9 non pu\u00f2 essere un numero di Ulam, deve essere esprimibile come somma di due numeri di Ulam in almeno un altro modo: ma poich\u00e9 tutte le altre somme sono minori di $U$, avendo preso i due numeri pi\u00f9 grandi possibili ci deve essere un altro numero di Ulam tra $U_n$ e $U$ che permette di arrivare a $U$ sommando un altro numero. <\/p>\n

\"grafici
grafici dei primi numeri di Ulam, da https:\/\/oeis.org\/A002858\/graph<\/figcaption><\/figure>\n

I numeri di Ulam hanno una distribuzione apparentemente casuale, con buchi come quello tra 155 e 175 e cluster come 238, 241, 243. Ulam congettur\u00f2 che ci fossero sempre meno elementi della successione al crescere dei valori, cio\u00e8 $lim_{n \\to \\infty} \\frac{n}{U_n} = 0$, ma sperimentalmente si direbbe che la crescita di $U_n$ \u00e8 lineare, con una densit\u00e0 di circa 0,074; o se preferite dirlo in un altro modo che $U_n \\approx 13,\\!51 n$. Ci sono due numeri di Ulam consecutivi, a parte gli iniziali 1, 2, 3? S\u00ec, c’\u00e8 la coppia 47-48, ma nei primi 28 miliardi di numeri non ce ne sono altri. I gap possono essere grandi a piacere? Presumibilmente s\u00ec: Donald Knuth ha notato che $U_4952 = 64420$ e $U_4953 = 64682$. In compenso, riprendendo la dimostrazione dell’infinit\u00e0 dei numeri di Ulam, gli unici casi sempre tra i primi 28 miliardi di numeri in cui la somma di due numeri consecutivi di Ulam \u00e8 anch’essa un numero di Ulam sono 1+2 = 3 e 62+69 = 131.<\/p>\n

\"distribuzione<\/a>
i numeri di Ulam non sembrano poi cos\u00ec casuali (immagine di Richard Green)<\/figcaption><\/figure>\n

Insomma, i numeri di Ulam non sembrano essere periodici. Per\u00f2 Richard Green racconta<\/a> come nel 2015 Stefan Steinerberger ha mostrato come esista una costante $\\alpha \\approx 2,\\!5714475$ per cui tra i primi dieci milioni di numeri di Ulam il valore di $\\alpha U_n \\mod 2\\pi$ \u00e8 quasi sempre compreso tra $\\frac{\\pi}{2} e \\frac{3\\pi}{2}$; le uniche eccezioni sono 2, 3, 47 e 69 (vi ricordano qualcosa?). Detto in altri termini, $\\cos(\\alpha U_n)$ \u00e8 sempre negativo, tranne che nei quattro casi sopraddetti. Un comportamento simile \u00e8 in genere sintomo di una periodicit\u00e0 che in questo caso non pare esistere, mentre per esempio c’\u00e8 nella successione Ulam-like che comincia con 2 e 5 e continua con 7, 9, 11, 12, 13, 15, 19, 23, 27, 29,… Si pu\u00f2 infatti dimostrare che se chiamiamo $U(a,b)$ una successione di Ulam generalizzata che comincia con $a$ e $b$ allora tale successione contiene solo due numeri pari, e si pu\u00f2 dimostrare che le successioni di Ulam generalizzate con un numero finito di numeri pari sono prima o poi periodiche. In definitiva la successione dei numeri di Ulam sembra essere un mistero!<\/p>\n

PS: un letterato che per caso sia riuscito ad arrivare fino a qua potr\u00e0 deliziarsi nel sapere che Raymond Queneau scrisse il paper Sur les suites s-additives<\/i><\/a> che parla proprio di successioni di questo tipo!<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Una successione ricorsiva piuttosto strana, senza una logica apparente ma con una propriet\u00e0 peculiare.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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