{"id":31897,"date":"2025-03-26T04:51:39","date_gmt":"2025-03-26T03:51:39","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=31897"},"modified":"2025-03-30T19:24:11","modified_gmt":"2025-03-30T17:24:11","slug":"il-rapporto-plastico","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2025\/03\/26\/il-rapporto-plastico\/","title":{"rendered":"Il rapporto plastico"},"content":{"rendered":"

Vi ho parlato – qui<\/a>, qui<\/a> e qui<\/a> – del rapporto superaureo ψ, che \u00e8 l’unica soluzione positiva dell\u2019equazione $x^3 = x^2 + 1$. E cosa succede se prendiamo invece l’equazione $x^3 = x + 1$? Semplice: otteniamo il rapporto plastico<\/a> (o numero plastico, se preferite), che si indica con ρ e vale circa 1,324717957… Ah: non traducete “plastic number” come “numero di plastica”, perch\u00e9 sarebbe riduttivo. L’aggettivo “plastico” in questo caso significa “che si pu\u00f2 modellare artisticamente”. <\/p>\n

Abbiamo una formula esplicita per ρ:<\/p>\n

$\\rho=\\sqrt[3]{\\frac{1}{2}+\\frac{1}{6}\\sqrt{\\frac{23}{3}}}+\\sqrt[3]{\\frac{1}{2}-\\frac{1}{6}\\sqrt{\\frac{23}{3}}}$, <\/p>\n

il che non \u00e8 in effetti un valore bello a vedersi, ma dobbiamo accontentarci di quel che ci passa il convento. Anche lo sviluppo in frazione continua non ci dice molto: comincia infatti con [1;3,12,1,1,3,2,3,2,4,2,141,80,…] dove l’unica cosa davvero interessante \u00e8 che ci si pu\u00f2 fermare al dodicesimo livello della frazione continua, prima cio\u00e8 del 141 e avere un’approssimazione molto precisa. E a proposito di approssimazioni, ρ \u00e8 il pi\u00f9 piccolo numero di Pisot-Vijayaraghavan<\/a> e quindi come ricordate le sue potenze sono molto vicine a numeri interi. <\/p>\n

Inutile dire che esiste una successione ricorsiva simile a quella di Fibonacci tale che il rapporto tra due termini successivi tenda a ρ; anzi, ce ne sono due. La pi\u00f9 nota \u00e8 probabilmente quella di Padovan<\/a> (che non \u00e8 un matematico italiano ma britannico), definita nel modo seguente: P(0) = P(1) = P(2) = 1, e P(n) = P(n\u22122) + P(n\u22123). La seconda \u00e8 quella di Perrin<\/a> (ma ne aveva gi\u00e0 parlato \u00c9douard Lucas), con la stessa ricorrenza ma i cui primi tre valori sono 3, 0, 2; questa successione ha un significato combinatorio. Che bisogna passare al termine tre posizioni indietro \u00e8 chiaro, visto che ρ \u00e8 la soluzione di un’equazione di terzo grado. <\/p>\n

\"spirali<\/p>\n

Come i numeri di Fibonacci permettono di costruire un quadrato che racchiude una spirale, capita qualcosa di simile con i numeri di Padocan che per\u00f2 usano triangoli equilateri anzich\u00e9 quadrati, formando una figura pi\u00f9 simile a una conchiglia. In figura potete vedere tre di queste spirali.<\/p>\n

Ci sono altre propriet\u00e0 del rapporto plastico, che vi racconter\u00f2 la prossima volta. <\/p>\n

Le spirali plastiche sono di Hyacinth, da Wikimedia Commons<\/a><\/small><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Un altro numero che si trova spesso nelle successioni ricorsive <\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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