{"id":31636,"date":"2025-03-05T04:51:26","date_gmt":"2025-03-05T03:51:26","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=31636"},"modified":"2025-03-07T21:04:26","modified_gmt":"2025-03-07T20:04:26","slug":"il-rapporto-superaureo-3","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2025\/03\/05\/il-rapporto-superaureo-3\/","title":{"rendered":"Il rapporto superaureo – 3"},"content":{"rendered":"

Dopo il primo<\/a> e il secondo<\/a> post sul rapporto superaureo, termino con una costruzione che ricorda quella dei conigli di Fibonacci, ma lavora pi\u00f9 in grande (altrimenti il rapporto non sarebbe mica super<\/b>aureo, no?)<\/p>\n

Un secolo e mezzo dopo Fibonacci, il matematico indiano Narayana Pandit<\/a> nel suo testo Ganita Kaumudi<\/i> propose questo problema.<\/p>\n

Una mucca d\u00e0 alla luce un vitello (femmina) ogni anno. A partire dal suo quarto anno di vita, ogni vitello ormai divenuta una mucca adulta d\u00e0 anch’essa alla luce un vitello l’anno. Quante mucche e vitelli ci saranno in tutto dopo vent’anni?<\/p><\/blockquote>\n

Occhei, il testo dovrebbe ricordarvi per l’appunto qualcosa…
\nMatematicamente, abbiamo l’equazione alle ricorrenze $N_k = N_{k-1} + N_{k-3}$, con la condizione iniziale $N_0 = N_1 = N_2 = 1$. La N \u00e8 naturalmente maiuscola in onore di Narayana, come nel caso della F per i numeri di Fibonacci. I primi termini della successione<\/a> sono 1, 1, 1, 2, 3, 4, 6, 9, 13, 19, 28, 41, 60, 88… e il loro rapporto tende al numero superaureo $\\psi$. \u00c8 interessante notare come i numeri di Narayana siano collegati ai coefficienti binomiali, per mezzo della formula <\/p>\n

$N_{n} = \\sum_{k=0}^{\\lfloor n \/ 3 \\rfloor}{n-2k \\choose k}$;<\/p>\n

ma d’altra parte \u00e8 noto che guardando attentamente il triangolo di Tartaglia possiamo trovare al suo interno la successione di Fibonacci, quindi non vedo nulla di strano. <\/p>\n

\"frattale<\/p>\n

Vi risparmio un po’ di formule in stile Binet per ricavare il rapporto superaureo, e termino con una figura: un frattale di Rauzy<\/a>, dove la tessera grande \u00e8 formata da tre tessere pi\u00f9 piccole e i rapporti relativi sono $\\psi^4 : \\psi^2 : \\psi : 1$. Come ci si arriva? Iterativamente, come sempre con i frattali. Partiamo dalla matrice
\n

$Q = \\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 1 & 0 \\end{pmatrix}$<\/center>
\nche ha come autovalore $\\psi$. Se la eleviamo alla n<\/i>-sima potenza, otteniamo
\n
$Q^{n} = \\begin{pmatrix} N_{n} & N_{n-2} & N_{n-1} \\\\ N_{n-1} & N_{n-3} & N_{n-2} \\\\ N_{n-2} & N_{n-4} & N_{n-3} \\end{pmatrix}$<\/center>
\nche come vedete ha come elementi numeri consecutivi di Narayana. Ma possiamo vedere queste matrici anche come generate da una struttura ricorrente:
\n
$\\begin{cases}
\n a \\;\\mapsto \\;ab \\\\
\n b \\;\\mapsto \\;c \\\\
\n c \\;\\mapsto \\;a \\end{cases}$<\/center>
\npartendo da un elemento $w_0 = b$. Applicando quelle regole di trasformazione, a ogni passo avremo che la quantit\u00e0 di $c, b, a$ sono numeri di Narayana consecutivi, e la lunghezza complessiva della stringa al passo $n$ \u00e8 sempre un numero di Narayana. Ecco i primi passi della trasformazione: <\/p>\n

$w_1 = b$
\n$w_2 = c$
\n$w_3 = a$
\n$w_4 = ab$
\n$w_5 = abc$
\n$w_6 = abca$
\n$w_7 = abcaab$
\n$w_8 = abcaababc$
\n$w_9 = abcaababcabca$<\/p>\n

Il frattale di Rauzy considera le tre lettere come direzioni spaziali, genera un insieme infinito di punti dello spazio che poi vengono mappati su un piano per ottenere la figura mostrata sopra. (A dire il vero, questa figura corrisponde alla trasformazione (a \u21a6 cab) (b \u21a6 a) (c \u21a6 ab), ma quella che ho usato io porta a una figura simile). Non \u00e8 carino?<\/p>\n

Immagine di Zilverspreeuw da Wikimedia Commons<\/a>, CC=BY=SA 4.0<\/small><\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Ultima parte della trattazione sul numero superaureo, con un (immancabile?) frattale.<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"ast-content-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"tablet":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""},"mobile":{"background-color":"var(--ast-global-color-4)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center center","background-size":"auto","background-attachment":"scroll","background-type":"","background-media":"","overlay-type":"","overlay-color":"","overlay-opacity":"","overlay-gradient":""}},"_jetpack_newsletter_access":"","_jetpack_dont_email_post_to_subs":false,"_jetpack_newsletter_tier_id":0,"_jetpack_memberships_contains_paywalled_content":false,"_jetpack_memberships_contains_paid_content":false,"activitypub_content_warning":"","activitypub_content_visibility":"","activitypub_max_image_attachments":3,"activitypub_interaction_policy_quote":"anyone","activitypub_status":"federated","footnotes":"","jetpack_publicize_message":"","jetpack_publicize_feature_enabled":true,"jetpack_social_post_already_shared":true,"jetpack_social_options":{"image_generator_settings":{"template":"highway","default_image_id":0,"font":"","enabled":false},"version":2},"jetpack_post_was_ever_published":false},"categories":[1005,214],"tags":[],"class_list":["post-31636","post","type-post","status-publish","format-standard","hentry","category-matelight-2025","category-matematica_light"],"jetpack_publicize_connections":[],"jetpack_featured_media_url":"","jetpack_shortlink":"https:\/\/wp.me\/phh2yV-8eg","jetpack-related-posts":[{"id":31513,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2025\/02\/19\/il-rapporto-superaureo\/","url_meta":{"origin":31636,"position":0},"title":"Il rapporto superaureo","author":".mau.","date":"2025-02-19","format":false,"excerpt":"Per chi trova svalutato il rapporto aureo...","rel":"","context":"In "mate-light-2025"","block_context":{"text":"mate-light-2025","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2025\/"},"img":{"alt_text":"rettangoli superaurei","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/02\/Supergolden_rectangle_BRYG.svg_.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200,"srcset":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/02\/Supergolden_rectangle_BRYG.svg_.png?resize=350%2C200&ssl=1 1x, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/02\/Supergolden_rectangle_BRYG.svg_.png?resize=525%2C300&ssl=1 1.5x, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/02\/Supergolden_rectangle_BRYG.svg_.png?resize=700%2C400&ssl=1 2x"},"classes":[]},{"id":31571,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2025\/02\/26\/il-rapporto-superaureo-2\/","url_meta":{"origin":31636,"position":1},"title":"Il rapporto superaureo – 2","author":".mau.","date":"2025-02-26","format":false,"excerpt":"Continuiamo a vedere le propriet\u00e0 del rapporto superaureo, e le somiglianze e differenze con il rapporto aureo.","rel":"","context":"In "mate-light-2025"","block_context":{"text":"mate-light-2025","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2025\/"},"img":{"alt_text":"spirale superaurea","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/02\/Supergolden_spiral.svg_.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200,"srcset":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/02\/Supergolden_spiral.svg_.png?resize=350%2C200&ssl=1 1x, https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/02\/Supergolden_spiral.svg_.png?resize=525%2C300&ssl=1 1.5x"},"classes":[]},{"id":8032,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2010\/08\/27\/ninna_nanna_pol\/","url_meta":{"origin":31636,"position":2},"title":"ninna nanna politically correct","author":".mau.","date":"2010-08-27","format":false,"excerpt":"ho riciclato una ninna nanna della mia infanzia","rel":"","context":"In "io"","block_context":{"text":"io","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/io\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":7749,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2010\/03\/11\/fibonacci_e_lin\/","url_meta":{"origin":31636,"position":3},"title":"Fibonacci e l’induzione","author":".mau.","date":"2010-03-11","format":false,"excerpt":"un teorema sui numeri di Fibonacci dimostrabile con l'induzione","rel":"","context":"In "matematica_light"","block_context":{"text":"matematica_light","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/matematica_light\/"},"img":{"alt_text":"","src":"","width":0,"height":0},"classes":[]},{"id":31897,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2025\/03\/26\/il-rapporto-plastico\/","url_meta":{"origin":31636,"position":4},"title":"Il rapporto plastico","author":".mau.","date":"2025-03-26","format":false,"excerpt":"Un altro numero che si trova spesso nelle successioni ricorsive","rel":"","context":"In "mate-light-2025"","block_context":{"text":"mate-light-2025","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/matematica_light\/matelight-2025\/"},"img":{"alt_text":"spirali plastiche","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2025\/03\/plastic-spirals-1.png?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]},{"id":29369,"url":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2024\/07\/27\/the-golden-ratio-and-fibonacci-numbers-ebook\/","url_meta":{"origin":31636,"position":5},"title":"The Golden Ratio and Fibonacci Numbers (ebook)","author":".mau.","date":"2024-07-27","format":false,"excerpt":"Peccato per un paio di refusi","rel":"","context":"In "rec-2024"","block_context":{"text":"rec-2024","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/category\/recensioni\/recensioni-2024\/"},"img":{"alt_text":"copertina","src":"https:\/\/i0.wp.com\/xmau.com\/notiziole\/wp-content\/uploads\/sites\/6\/2024\/07\/9789810232641.jpg?resize=350%2C200&ssl=1","width":350,"height":200},"classes":[]}],"jetpack_likes_enabled":true,"jetpack_sharing_enabled":true,"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/31636","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/users\/1"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=31636"}],"version-history":[{"count":5,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/31636\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":31670,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/31636\/revisions\/31670"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=31636"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=31636"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=31636"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}