{"id":31295,"date":"2025-02-05T04:51:17","date_gmt":"2025-02-05T03:51:17","guid":{"rendered":"https:\/\/xmau.com\/wp\/notiziole\/?p=31295"},"modified":"2025-02-05T10:42:07","modified_gmt":"2025-02-05T09:42:07","slug":"numeri-duali-e-numeri-conplessi-iperbolici","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/xmau.com\/notiziole\/2025\/02\/05\/numeri-duali-e-numeri-conplessi-iperbolici\/","title":{"rendered":"Numeri duali e numeri complessi iperbolici"},"content":{"rendered":"

Come sapete, i numeri complessi possono essere visti in vari modi: coppie ordinate di numeri reali a cui viene applicata una struttura specifica, oppure punti di un piano cartesiano sempre con una struttura specifica. D’accordo, probabilmente potremmo dire che questi due modi sono la stessa cosa. Ma facciamo un passo indietro e torniamo a quella che \u00e8 stata storicamente la definizione iniziale di un numero immaginario (poi per arrivare ai complessi baster\u00e0 sommargli un numero reale). Cosa ha fatto Tartaglia? Ha immaginato :-) di aggiungere ai numeri reali un elemento speciale i<\/i> con la propriet\u00e0 che i<\/i>² = \u22121. Ovviamente Tartaglia non pensava in questo modo: per lui i numeri erano numeri, e l’elemento speciale era un semplice trucco usato perch\u00e9 alla fine spariva e lasciava il risultato corretto. Ma noi abbiamo mezzo millennio di matematica in pi\u00f9 e possiamo permetterci questa visione astratta.<\/p>\n

Cosa succede se proviamo ad aggiungere un elemento che ha una propriet\u00e0 diversa da quella di i<\/i>? Per prima cosa non avremo pi\u00f9 un campo, visto che l’unica estensione dei numeri reali che resta un campo sono i numeri complessi. Ma questo in fin dei conti \u00e8 solo un piccolo fastidio: tanto per dire, i quaternioni (dove aggiungiamo ai reali tre<\/b> elementi che al quadrato danno \u22121) non sono un campo, ma non per questo non vengono usati. Pi\u00f9 o meno nello stesso periodo in cui Hamilton formalizz\u00f2 i quaternioni, furono proposte altre due estensioni dei numeri reali: i numeri duali<\/a> e i numeri complessi iperbolici<\/a>. <\/p>\n

I numeri duali si ottengono aggiungendo ai reali un numero \u03b5 \u2260 0 tale che \u03b5\u00b2 = 0 (e immagino che avrete capito perch\u00e9 l'”unit\u00e0 duale” aggiunta si chiama epsilon…) Come per i numeri complessi, possiamo scrivere un numero duale come $z = a + b\u03b5$. Somma e prodotto di due numeri duali $z_1 = a_1 + b_1 \\varepsilon$ e $z_2 = a_2 + b_2 \\varepsilon$ sono rispettivamente <\/p>\n

$ z_1 + z_2 = \\left( a_1 + a_2 \\right) + \\left( b_1 + b_2 \\right) \\varepsilon $<\/p>\n

$z_1 z_2 = \\left( a_1 a_2 \\right) + \\left( a_1 b_2 + a_2 b_1 \\right) \\varepsilon$<\/p>\n

(ovviamente ci siamo persi il quarto prodotto dei coefficienti, svanito insieme a \u03b5\u00b2…) Per la divisione le cose sono un po’ pi\u00f9 complicate. Tralasciando i passaggi formali, abbiamo infatti che <\/p>\n

$\\displaystyle\\frac{a + b \\varepsilon} {c + d \\varepsilon} = \\frac{a} {c} + \\frac{cb – ad}{c^2} \\varepsilon$<\/p>\n

Notate che la divisione \u00e8 definita per $c \\neq 0$, quindi i numeri duali “puri” (privi cio\u00e8 di parte reale) non sono invertibili. La cosa dovrebbe tornarvi, se pensate a \u03b5 come un infinitesimo e quindi a 1\/\u03b5 come un numero infinito; e in effetti l’unit\u00e0 duale ha propriet\u00e0 analoghe agli infinitesimi dell’analisi non standard. Per esempio, se abbiamo un polinomio $P(z)$ sui numeri duali, possiamo calcolare il suo sviluppo di Taylor in un punto $a + b\u03b5$: otteniamo <\/p>\n

$\\displaystyle P(a + b \\varepsilon) = \\sum_{k=0}^{\\infty} P^{(k)}(a) \\frac{(b \\varepsilon)^k}{k!} = P(a) + P\\prime(a) b \\varepsilon$<\/p>\n

Il bello \u00e8 che lo sviluppo di Taylor non \u00e8 infinito ma finito, perch\u00e9 tutte le potenze di \u03b5 dal quadrato in su si annullano! Come corollario, se conosciamo il valore del polinomio in un determinato numero duale, possiamo calcolare direttamente la derivata del polinomio nella sua parte reale.<\/p>\n

I numeri complessi iperbolici aggiungono invece un elemento h<\/i> (Wikipedia usa ancora \u03b5, mentre John Cook preferisce<\/a> j<\/i> immagino per fare arrabbiare gli ingegneri… per\u00f2 a me piace pi\u00f9 h<\/i>), con $h \\neq \u00b11$ ma $h^2 = 1$. Non venitemi a dire che l’equazione $x^2 = 1$ non pu\u00f2 avere pi\u00f9 di due soluzioni: ho gi\u00e0 detto che non abbiamo pi\u00f9 un campo. In questo caso, a parte i segni, le formule di addizione, sottrazione e dell’inverso sono simili a quelle per i numeri complessi:<\/p>\n

$z_1 + z_2 = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2) h $<\/p>\n

$z_1 z_2 = (a_1 a_2 + b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1) h$<\/p>\n

$\\displaystyle \\left( a + b h \\right)^{-1} = \\frac{a – b h}{a^2- b^2}$<\/p>\n

Avere per\u00f2 nell’inverso un segno meno anzich\u00e9 pi\u00f9 a denominatore significa che non solo non \u00e8 possibile la divisione per zero, ma anche per tutti i numeri iperbolici dove $a = \u00b1b$. Anche in questo caso non abbiamo dunque un campo. <\/p>\n

Termino con gli equivalenti della formula di Eulero $\\exp(i\\theta) = \\cos \\theta + i \\sin \\theta$, mostrati da John Cook nel suo succitato post. Per i numeri duali abbiamo <\/p>\n

$ \\exp(\\varepsilon x) = 1 + \\varepsilon x $<\/p>\n

che \u00e8 la stessa cosa che dire che per x<\/i> numero reale molto piccolo abbiamo $\\exp{x} \\approx 1 + x $. Per i numeri iperbolici abbiamo invece <\/p>\n

$\\exp(hx) = \\cosh x + h \\sinh x$<\/p>\n

e quindi spuntano seno e coseno iperbolico! Capite perch\u00e9 ho usato h<\/i> per indicare l’unit\u00e0 iperbolica? Numeri duali e iperbolici possono insomma essere usati per formalizzare ragionamenti intuitivi matematici. Diciamo che quando un matematico si impegna pu\u00f2 formalizzare la qualunque…<\/p>\n

Aggiornamento:<\/b> (09:15) Nei commenti mi \u00e8 stato fatto notare che anche i numeri surreali<\/a> formano un campo (almeno accettata l’esistenza di un cardinale inaccessibile). E in effetti anche i numeri p<\/i>-adici formano un campo (anche se quella \u00e8 un’estensione dei razionali e non dei reali). Probabilmente la cosa pi\u00f9 corretta sarebbe stato dire che se vogliamo un campo dove tutte le equazioni abbiamo soluzione l’unica possibilit\u00e0 di ampliare gli interi \u00e8 avere i complessi. <\/p>\n

Aggiornamento:<\/b> (09:30) Se qualcuno si chiedesse perch\u00e9 non ha mai sentito parlare di questi numeri, nonostante siano stati definiti da matematici come Clifford e Cayley, la risposta \u00e8 semplice, e la si pu\u00f2 leggere tra le righe se consultate l’edizione inglese di Wikipedia di quelle voci. Pi\u00f9 o meno parallelamente a questi sviluppi si \u00e8 cominciato a definire il calcolo matriciale, che \u00e8 s\u00ec molto pi\u00f9 astratto ma permette di unificare la descrizione. Abbiamo cos\u00ec per le varie unit\u00e0 le matrici 2×2<\/p>\n

$ 1 = \\begin{pmatrix}1 & 0 \\\\ 0 & 1 \\end{pmatrix}$<\/p>\n

$ i = \\begin{pmatrix}0 & -1 \\\\ 1 & 0 \\end{pmatrix} $<\/p>\n

$\\varepsilon = \\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 0 & 0 \\end{pmatrix}$<\/p>\n

$h = \\begin{pmatrix}0 & 1 \\\\ 1 & 0 \\end{pmatrix}$<\/p>\n

e possiamo verificare che in effetti valgono le propriet\u00e0 che conosciamo per i numeri complessi, duali e iperbolici.<\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Per fare i numeri immaginari aggiungiamo un “valore esterno” i per cui i\u00b2 = \u22121. Se aggiungessimo un valore diverso che succede?<\/p>\n","protected":false},"author":1,"featured_media":0,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"site-sidebar-layout":"default","site-content-layout":"","ast-site-content-layout":"default","site-content-style":"default","site-sidebar-style":"default","ast-global-header-display":"","ast-banner-title-visibility":"","ast-main-header-display":"","ast-hfb-above-header-display":"","ast-hfb-below-header-display":"","ast-hfb-mobile-header-display":"","site-post-title":"","ast-breadcrumbs-content":"","ast-featured-img":"","footer-sml-layout":"","ast-disable-related-posts":"","theme-transparent-header-meta":"","adv-header-id-meta":"","stick-header-meta":"","header-above-stick-meta":"","header-main-stick-meta":"","header-below-stick-meta":"","astra-migrate-meta-layouts":"default","ast-page-background-enabled":"default","ast-page-background-meta":{"desktop":{"background-color":"var(--ast-global-color-5)","background-image":"","background-repeat":"repeat","background-position":"center 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